Multiplicadors de Lagrange

Archiu:Lagrange multiplier.png

Figura. 1. En vert, el lloc geomètric (curva de nivell o isolínea) dels punts que satisfan la restricció g(x,i) = c. blau els contorns de f. Les fleches representen al gradient, que té una direcció perpendicular a la tangente de la isolínea.

En els problemes d'optimisació, el método dels multiplicadors de Lagrange, cridats aixina en honor a Joseph Louis Lagrange, és un procediment per a trobar els màxims i mínims relatius (o locals) de funcions de múltiples variables subjectes a restriccions. Este método reduïx el problema restringit en n variables a un sense restriccions de n -k variables, a on k és igual al número de restriccions, i les equacions de les quals poden ser resoltes més fàcilment. Estes noves variables escalares desconegudes, una per a cada restricció, són cridades multiplicadors de Lagrange. El método diu que els punts a on la funció té un extrem condicionat en k restriccions, estan entre els punts estacionarios d'una nova funció sense restriccions construïda com una combinació llineal de la funció i les funcions implicades en les restriccions, els coeficients de les quals són els multiplicadors.

La demostració usa derivades parcials i la regla de la cadena per a funcions de vàries variables. Es tracta d'extraure una funció implícita de les restriccions, i trobar les condicions per a que les derivades parcials sobre les variables independents de la funció siguen iguals a zero.

Introducció

Considerem un cas tridimensional. Supongam que tenim la funció, f (x, i), i volem maximizar, estant subjecta a la condició:

$g(x,y)=c$

a on c és una constant. Podem visualisar les curves de nivell de f donades per

$f(x,y)=d_n$

per a varis valors de d_n, i el contorn de g donat per g(x, i) = c. Supongam que parlem de la curva de nivell a on g = c. Llavors, en general, les curves de nivell de f i g seran distintes, i la curva g = c per lo general intersectará i creuarà molts contorns de f. En general, movent-se a través de la llínea g=c podem incrementar o disminuir el valor de f. Només quan g=c (el contorn que estem seguint) toca tangencialmente (no curta) una curva de nivell de f, no s'incrementa o disminuïx el valor de f. Açò ocorre en l'extrem local restringit i en els punts d'inflexió restringits de f.

Un eixemple familiar pot ser obtingut dels mapes climatològics, en les seues curves de nivell de pressió i temperatura (isóbares i isoterma respectivament): l'extrem restringit ocorrerà a on els mapes superposts mostren curves que es toquen.

Geomètricament traduïm la condició de tangència dient que els gradient de f i g són vectores paralels en el màxim. Introduint un nou escalar, λ, resolem

$\mathrm{\nabla }$[f(x, i) - λ (g(x, i) − c)] = 0

per a λ ≠ 0.

Una volta determinats els valors de λ, tornem al número original de variables i aixina continuem trobant l'extrem de la nova equació no restringida.

$F(x,y)=f(x,y)-\lambda (g(x,y)-c)$

de forma tradicional. Això és, $F(x,y)=f(x,y)$ para tot (x, i) satisfent la condició perque $g(x,y)-c$ és igual a zero en la restricció, pero els zeros de $\mathrm{\nabla }$F(x, i) estan tots en $g(x,y)=c$.

El método dels multiplicadors de Lagrange

Siga f (x) una funció definida en un conjunt obert n-dimensional {x ∈ Rⁿ}. Es definixen s restriccions g_k (x) = 0, k=1,..., s, i s'observa (si les restriccions són satisfetes) que:

$h(𝐱,𝝀)=f+\sum _{k=1}^s{\lambda }_k{g}_k$

Es procedix a buscar un extrem per a h

$\frac{\partial h}{\partial x_i}=0,$

lo que és equivalent a

$\frac{\partial f}{\partial x_i}=-\sum _k^s{\lambda }_k\frac{\partial g_k}{\partial x_i}.$

Els multiplicadors desconeguts λ_k es determinen a partir de les equacions en les restriccions i conjuntament s'obté un extrem per a h que al mateix temps satisfà les restriccions (i.i. g_k=0), lo que implica que f ha segut optimisada

El método de multiplicadors de Lagrange és generalisat per les condicions de Karush-Kuhn-Tucker.