Colectivitat microcanónica

La colectivitat microcanónica, o colectiu microcanónico, és un formalisme de la física estadística amprat en l'estudi de sistemes macroscòpics aïllats en equilibri, en els que l'energia permaneix constant, al no existir intercanvi en el mig exterior.

A esta colectivitat li correspon el conjunt de microestats en densitat de provabilitat donada per

denominada distribució microcanónica.

Per eixemple, supongam un model de Ising. Estem interessats en calcular quànts microestats hi ha compatibles en una energia donada. Si som capaços d'obtindre este número, haurem resolt el problema termodinàmic.

Formulació matemàtica

És imprescindible, per a expressar correctament les relacions en la termodinàmica, escomençar definint la funció $\Gamma$ com,

que resulta el volum de l'espai fásico tancat entre les hipersuperficies $H(q,p)=E_o$ i $H(q,p)=E$ i se li denomina volum fásico.

La relació existent entre $\Omega$, la norma de la distribució, i $\Gamma$ és:

Este resultat s'obté fàcilment reemplaçant en la definició de $\Gamma (E)$ l'expressió per a $\rho (p,q)$. Plantilla:Ecuacion
El factor $\Omega (E^{\prime })$ no depén de les variables del espai fásico aixina que pot eixir de l'integral interna. Lo que queda és l'integral en tot l'espai fásico de $\rho (p,q)$, igual a 1 per definició. Plantilla:Ecuacion Derivant respecte d'I i aplicant el teorema fonamental del càlcul obtenim:
Plantilla:Ecuacion

Conexió en la termodinàmica

La relació en el problema termodinàmic ve donada per la fòrmula de Boltzmann:

a on $\Omega$ és el número de microestats en energia $E$, també cridat funció d'estructura. $S$ és l'entropía del sistema expressada en funció de les seues variables naturals, lo que dona una informació termodinàmica completa del sistema. Per a obtindre $\Omega$ és necessari elaborar un model del sistema físic que vullgam estudiar.

Esta equació està basada en el principi de que totes les configuracions microscòpiques són igualment provables, sempre que siguen compatibles en les condicions macroscòpiques d'energia, número de partícules i volum. També és necessari que es complixca el principi de ergodicidad.

D'esta equació podem obtindre totes les propietats termodinàmiques, com l'equació d'estat, el calor específica, l'energia, etc.