Dilució de regressió

Ilustració de la dilució de la regressió (o biaix d'atenuació) per un ranc d'estimacions de regressió en models d'errors en variables. Dos llínees de regressió (roges) delimiten el ranc de possibilitats de regressió llineal. La pendent menys pronunciada s'obté quan la variable independent (o predictor) està en l'abscissa (eix x). La pendent més pronunciada s'obté quan la variable independent està en l'ordenada (eix i). Per convenció, en la variable independent en l'eix x, s'obté la pendent menys pronunciada. Les llínees de referència verdes són miges dins d'intervals arbitraris a lo llarc de cada eix. Observe's que les estimacions de regressió verdes i roges més pronunciades són més coherents en errors menors en la variable de l'eix i.

La dilució de regressió, també coneguda com a atenuació de regressió, és el biaix de la pendent de regressió llineal cap a zero (la subestimación de la seua valor absolut), causat per errors en la variable independent.

Considerem l'ajust d'una llínea recta per a la relació d'una variable de resultat i en una variable de predicció x, i l'estimació de la pendent de la llínea. La variabilitat estadística, l'error de medició o el soroll aleatori en la variable i causen incertitut en la pendent estimada, pero no biaix: en promig, el procediment calcula la pendent correcta. No obstant, la variabilitat, l'error de medició o el soroll aleatori en la variable x provoquen un biaix en la pendent estimada (aixina com imprecisió). Quant major siga la varianza en la medició de x, més s'acostarà la pendent estimada a zero en lloc del valor verdader.

Pot semblar contraintuitivo que el soroll en la variable de predicció x induïxca un biaix, pero que el soroll en la variable de resultat i no ho faça. Recordem que la regressió llineal no és simètrica: la llínea de millor ajust per a predir i a partir de x (la regressió llineal habitual) no és la mateixa que la llínea de millor ajust per a predir x a partir de i.

Correcció de la pendent

La pendent de regressió i atres coeficients de regressió poden desatenuarse del següent modo.

Cas d'una variable x fixa

El cas en que x és fixa, pero es medix en soroll, es coneix com a model funcional o relació funcional. Es pot corregir per mig de mínims quadrats totals i models d'errors en variables en general.

Cas d'una variable x distribuïda aleatoriamente

El cas en que la variable x sorgix aleatoriamente es coneix com a model estructural o relació estructural. Per eixemple, en un estudi mege els pacients es recluten com a mostra d'una població, i les seues característiques, com la pressió arterial, poden considerar-se sorgides d'una mostra aleatòria.

Supongam que els punts de senyes verdes i blaves capturen les mateixes senyes, pero en errors (+1 o -1 en l'eix x) per als punts verts. Minimisar l'error en l'eix i conduïx a una pendent més chicoteta per als punts verts, inclús si són només una versió sorollosa de les mateixes senyes.

Baixe certs supòsits (normalment, suposts de distribució normal) existix una relació coneguda entre la pendent real i la pendent estimada esperada. Frost i Thompson (2000) revisen varis métodos per a estimar esta relació i, per tant, corregir la pendent estimada. El terme relació de dilució per regressió, encara que no tots els autors ho definixen de la mateixa manera, s'utilisa per a este enfocament general, en el que s'ajusta la regressió llineal habitual i, a continuació, s'aplica una correcció. La resposta a Frost & Thompson de Longford (2001) remet al llector a atres métodos, ampliant el model de regressió per a reconéixer la variabilitat de la variable x, de modo que no sorgixca cap biaix. Fuller (1987) és una de les referències estàndar per a evaluar i corregir la dilució per regressió.

Hughes (1993) mostra que els métodos de raó de dilució de regressió s'apliquen aproximadament en models de supervivència. Rosner (1992) mostra que els métodos de raó s'apliquen aproximadament en models de regressió llogística. Carroll et al. (1995) donen més detalls sobre la dilució de regressió en models no llineals, presentant els métodos de raó de dilució de regressió com el cas més simple dels métodos de calibración de regressió, en els que també es poden incorporar covariables adicionals.

En general, els métodos per al model estructural requerixen alguna estimació de la variabilitat de la variable x. Açò requerirà medicions repetides de la variable x en els mateixos individus, ya siga en un subestudio del conjunt de senyes principal o en un conjunt de senyes independent. Sense esta informació no serà possible realisar una correcció.

Múltiples variables x

El cas de múltiples variables predictoras subjectes a variabilitat (possiblement correlacionadas) ha segut ben estudiat per a la regressió llineal i per a alguns models de regressió no llineal. Atres models no llineals, com els models de riscs proporcionals per a l'anàlisis de supervivència, només s'han considerat en un únic predictor subjecte a variabilitat.

Correcció de la correlació

Charles Spearman va desenrollar en 1904 un procediment per a corregir les correlació per la dilució de la regressió, és dir, per a "lliurar a un coeficient de correlació de l'efecte debilitador del error de medició".

En medició i estadística, el procediment també es denomina desatenuación de la correlació. La correcció garantisa que el coeficient de correlació de Pearson entre unitats de senyes (per eixemple, persones) entre dos conjunts de variables s'estime de manera que tinga en conte l'error contingut en la medició de dites variables.

Formulació

Siga que $\beta$ i $\theta$ són els valors verdaders de dos atributs d'una persona o unitat estadística. Estos valors són variables en virtut del supòsit de que diferixen per a les distintes unitats estadístiques de la població. Siga que $\hat{\beta }$ i $\hat{\theta }$ siguen estimacions de $\beta$ i $\theta$ derivat directament de l'observació en error o de l'aplicació d'un model de medició, com el model de Rasch. Ademés, siga

$\hat{\beta }=\beta +{ϵ}_{\beta },\hat{\theta }=\theta +{ϵ}_{\theta },$

A on, ${ϵ}_{\beta }$ i ${ϵ}_{\theta }$ són els errors de medició associats a les estimacions $\hat{\beta }$ i $\hat{\theta }$.

La correlació estimada entre dos conjunts d'estimacions és:

$\mathrm{corr}(\hat{\beta },\hat{\theta })=\frac{\mathrm{cov}(\hat{\beta },\hat{\theta })}{\sqrt{\mathrm{var}[\hat{\beta }]\mathrm{var}[\hat{\theta }}]}$

$=\frac{\mathrm{cov}(\beta +{ϵ}_{\beta },\theta +{ϵ}_{\theta })}{\sqrt{\mathrm{var}[\beta +{ϵ}_{\beta }]\mathrm{var}[\theta +{ϵ}_{\theta }]}},$

Que, suponent que els errors no estan correlacionados entre sí ni en els valors verdaders dels atributs, dona com a resultat:

$\mathrm{corr}(\hat{\beta },\hat{\theta })=\frac{\mathrm{cov}(\beta ,\theta )}{\sqrt{(\mathrm{var}[\beta ]+\mathrm{var}[{ϵ}_{\beta }])(\mathrm{var}[\theta ]+\mathrm{var}[{ϵ}_{\theta }])}}$

$=\frac{\mathrm{cov}(\beta ,\theta )}{\sqrt{(\mathrm{var}[\beta ]\mathrm{var}[\theta ])}}.\frac{\sqrt{\mathrm{var}[\beta ]\mathrm{var}[\theta ]}}{\sqrt{(\mathrm{var}[\beta ]+\mathrm{var}[{ϵ}_{\beta }])(\mathrm{var}[\theta ]+\mathrm{var}[{ϵ}_{\theta }])}}$

$=\rho \sqrt{R_{\beta }{R}_{\theta }},$

A on, $R_{\beta }$ és el índex de separació del conjunt d'estimacions de $\beta$ que és anàlec al alfa de Cronbach; és dir, en térmens de la teoria clàssica dels tests, $R_{\beta }$ és anàlec a un coeficient de fiabilitat. Concretament, l'índex de separació ve dau de la següent manera: $R_{\beta }=\frac{\mathrm{var}[\beta ]}{\mathrm{var}[\beta ]+\mathrm{var}[{ϵ}_{\beta }]}=\frac{\mathrm{var}[\hat{\beta }]-\mathrm{var}[{ϵ}_{\beta }]}{\mathrm{var}[\hat{\beta }]},$

A on l'error estàndar quadràtic mig de l'estimació de la persona dona una estimació de la varianza dels errors, ${ϵ}_{\beta }$. Els errors estàndar es produïxen normalment com un subproducte del procés d'estimació (vore l'estimació del model Rasch).

Per lo tant, l'estimació atenuada de la correlació entre els dos conjunts d'estimacions de paràmetros és:

$\rho =\frac{\text{corr}(\hat{\beta },\hat{\theta })}{\sqrt{R_{\beta }{R}_{\theta }}}.$

És dir, l'estimació de la correlació desatenuada s'obté dividint la correlació entre les estimacions per la mija geomètrica dels índexs de separació dels dos conjunts d'estimacions. Expressat en térmens de la teoria clàssica de les proves, la correlació es dividix per la mija geomètrica dels coeficients de fiabilitat de dos proves.

Donades dos variables aleatòries $X^{\prime }$ i $Y^{\prime }$ mides com $X$ i $Y$ en correlació medida $r_{xy}$ i una fiabilitat coneguda per a cada variable, $r_{xx}$ i $r_{yy}$, la correlació estimada entre $X^{\prime }$ i $Y^{\prime }$ corregit per l'atenuació és:

$r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{r_{xy}}{\sqrt{r_{xx}{r}_{yy}}}$.

La calitat de la medició de les variables afecta a la correlació de X i I. La correcció per atenuació indica quin seria la correlació estimada si es pogueren medir X′ i I′ en total fiabilitat.

Per lo tant, si $X$ i $Y$ es consideren mides imperfectes de variables subjacents $X^{\prime }$ i $Y^{\prime }$ en errors independents, llavors $r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ estima la verdadera correlació entre $X^{\prime }$ i $Y^{\prime }$.

Vore també

• Models d'errors en variables
• Cuantización (processament de senyals): font habitual d'error en les variables explicatives o independents.