Desviació geodèsica

En la relativitat general, si dos objectes es posen en moviment en dos trayectòries inicialment paraleles, la presència d'una força de marea gravitatoria farà que les trayectòries es curven, alluntant-se o acostant-se entre sí, produint una acceleració relativa entre els objectes.

Matemàticament, la força de marea en la relativitat general es descriu per mig del tensor de curvatura, i la trayectòria d'un objecte únicament baix l'influència de la gravetat es denomina llínea geodèsica. L'equació de la desviació geodèsica relaciona el tensor de curvatura de Riemann en l'acceleració relativa de dos geodèsiques veïnes. En geometria diferencial, l'equació de la desviació geodèsica es coneix més comunament com equació de Jacobi.

Definició matemàtica

Per a quantificar la desviació geodèsica, es comença configurant una família de geodèsiques estretament espayades indexades per una variable contínua s i caracterisades per un paràmetro afí τ. És dir, per a cada s fixa, la curva agranada per γ_s(τ) a mida que τ varia és una geodèsica. En considerar la geodèsica d'un objecte massiu, a sovint és convenient elegir τ com el temps propi de l'objecte. Si x^μ(s, τ) són les coordenades de la geodèsica γ_s(τ), llavors el vector tangente d'esta geodèsica és

$T^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }.$

Si τ és el temps propi, llavors T^μ és la cuadrivelocidad de l'objecte que es desplaça a lo llarc de la geodèsica.

També es pot definir un vector de desviació, que és el desplaçament de dos objectes que viagen en dos geodèsiques infinitesimalment separades:

$X^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}.$

La acceleració relativa A^μ dels dos objectes es definix, aproximadament, com la segona derivada del vector de separació X^μ a mida que els objectes alvancen en les seues respectives geodèsiques. Específicament, A^μ es troba prenent la direcció segons la derivada covariant de X en T dos voltes:

$A^{\mu }=T^{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }\left(T^{\beta }{\mathrm{\nabla }}_{\beta }{X}^{\mu }\right).$

L'equació de la desviació geodèsica relaciona A^μ, T^μ, X^μ i el tensor de Riemann R^μ_νρσ:

$A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }{T}^{\nu }{T}^{\rho }{X}^{\sigma }.$

Una notació alternativa per a la derivada covariant direccional $T^{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$ és $D/d\tau$, per lo que l'equació de la desviació geodèsica també es pot escriure com

$\frac{D^2{X}^{\mu }}{d{\tau }^2}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }{T}^{\nu }{T}^{\rho }{X}^{\sigma }.$

L'equació de la desviació geodèsica es pot deduir de la segona variació de la lagrangiana d'una partícula puntual en les geodèsiques, o de la primera variació combinada d'una lagrangiana. L'enfocament lagrangiano té dos ventages. Primer, permet aplicar varis enfocaments formals de cuantisació al sistema de la desviació geodèsica. En segon lloc, permet formular la desviació per a objectes en situacions molt més generals que les trayectòries geodèsiques (qualsevol sistema dinàmic que tinga un moment indexat d'un espai-temps pot tindre una generalisació corresponent de la desviació geodèsica).

Llímit de camp dèbil

La conexió entre la desviació geodèsica i l'acceleració vinculada a l'efecte de marea gravitatoria es pot vore més explícitament en examinar la desviació geodèsica en el llímit del camp dèbil, a on la mètrica és aproximadament de Minkowski, i se supon que les velocitats de les partícules de prova són molt menors que c. Llavors, el vector tangente T^μ és aproximadament (1, 0, 0, 0); és dir, solament la component temporal és distinta de zero.

Les components espacials de l'acceleració relativa vénen donades per

$A^i={R^i}_{0j0}{X}^j,$

a on i i j recorren solament els índexs espacials 1, 2 i 3.

En el cas particular d'una mètrica corresponent al potencial newtoniano Φ(x, i, z) d'un objecte massiu en x = i = z = 0, es té que

${R^i}_{0j0}=-\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial x^i\partial x^j},$

que és el tensor de marea del potencial newtoniano.