Conjunt compacte aleatori

En matemàtiques, un conjunt compacte aleatori és essencialment una variable aleatòria en valors en un conjunt compacte. Els conjunts compactes aleatoris són útils en l'estudi de atractores per a sistemes dinàmics aleatoris.

Definició

Siga $(M,d)$ un espai mètric separable complet. Denotem per $𝒦$ el conjunt de tots els subconjunts compactes de $M$. La mètrica de Hausdorff $h$ en $𝒦$ es definix per:

$h(K_1,K_2):=\max \{\underset{a\in K_1}{\sup }\underset{b\in K_2}{\inf }d(a,b),\underset{b\in K_2}{\sup }\underset{a\in K_1}{\inf }d(a,b)\}.$

$(𝒦,h)$ és també un espai mètric complet separable. Els subconjunts oberts corresponents generen una σ-àlgebra sobre $𝒦$, la σ-àlgebra de Borel $ℬ(𝒦)$ de $𝒦$.

Un conjunt compacte aleatori és una funció mesurable $K$ d'un espai de provabilitat $(\Omega ,ℱ,\mathbb{P})$ en $(𝒦,ℬ(𝒦))$.

Dit d'un atre modo, un conjunt compacte aleatori és una funció mesurable $K:\Omega \to 2^M$ de tal manera que $K(\omega )$ és casi segur compacte i:

$\omega \mapsto \underset{b\in K(\omega )}{\inf }d(x,b)$

és una funció mesurable per a cada $x\in M$.

Discussió

Els conjunts compactes aleatoris en este sentit també són conjunts tancats aleatoris com en Matheron (1975). En conseqüència, baix el supòsit adicional de que l'espai portador és localment compacte, la seua distribució ve donada per les provabilitats:

$\mathbb{P}(X\cap K=\mathrm{\varnothing })$ per a $K\in 𝒦.$

(La distribució d'un conjunt convex compacte aleatori també ve donada pel sistema de totes les provabilitats d'inclusió) $\mathbb{P}(X\subset K).$

Per a $K=\{x\}$, s'obté la provabilitat $\mathbb{P}(x\in X)$, la qual satisfà:

$\mathbb{P}(x\in X)=1-\mathbb{P}(x\in ̸X).$

Per lo tant, la funció de cobertura $p_X$ està donada per:

$p_X(x)=\mathbb{P}(x\in X)$ per a $x\in M.$

Per supost, $p_X$ també pot interpretar-se com la mija de la funció indicadora ${\mathrm{𝟏}}_X$:

$p_X(x)=𝔼{\mathrm{𝟏}}_X(x).$

La funció de cobertura pren valors entre $0$ i $1$. El conjunt $b_X$ de tots els $x\in M$ en $p_X(x)>0$ es denomina el soport de $X$. El conjunt $k_X$ de tots els $x\in M$ en $p_X(x)=1$ es denomina núcleu, conjunt de punts fixos o mínim essencial $e(X)$. Si $X_1,X_2,\dots$ és una seqüència de conjunts compactes aleatoris i.i.d., llavors casi en seguritat:

$\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i=e(X)$

i $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i$ convergix casi en seguritat a $e(X).$

Vore també

• Conjunt aleatori
• Procés de punt
• Geometria estocàstica
• Mida aleatòria
• Procés de empalme
• Teoria de la provabilitat
• Espai de provabilitat
• Mètrica de Hausdorff
• Sistema dinàmic aleatori

Bibliografia adicional

• Matheron, Georges (1975). Random Sets and Integral Geometry, New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-57621-1.
• Molchanov, Ilya (2005). Theory of Random Sets, London: Springer. ISBN 978-1-85233-892-3.
• Stoyan, Dietrich; Stoyan, Helga (1994). Fractals, Random Shapes and Point Fields: Methods of Geometrical Statistics, Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-93757-7.
• Schneider, Rolf; Weil, Wolfgang (2008). Stochastic Geometry, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-78858-4.
• Crauel, Hans; Flandoli, Franco (1999). Random Attractors, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65983-9.
• Kallenberg, Olav (2002). Foundations of Modern Probability, 2.ª edició, New York: Springer. ISBN 978-0-387-94957-7.
• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (1998). Variational Analysis, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-62772-2.
• Arnold, Ludwig (1998). Random Dynamical Systems, Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-63758-5.