Conjectura de Jacobson

En àlgebra abstracta, la conjectura de Jacobson és un problema obert en la teoria d'anells relatiu a l'intersecció de potències del radical de Jacobson d'un anell noetheriano.

Fins ara només s'ha provat per a tipos especials d'anells noetherianos. Existixen eixemples per a mostrar que la conjectura pot fallar quan l'anell no és noetheriano en un costat, per lo que és absolutament necessari que l'anell siga noetheriano en dos costats.

La conjectura du el nom del algebraista Nathan Jacobson, qui va plantejar la primera versió de la conjectura.

Declaració

Per a un anell R en radical de Jacobson J, les potències no negatives $J^n$ es definixen utilisant el producte d'ideals.

Conjectura de Jacobson: en un anell noetheriano de dreta i esquerra, $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{J}^n=\{0\}.$

En atres paraules: "L'únic element d'un anell noetheriano en totes les potències de J és 0".

La conjectura original plantejada per Jacobson en 1956 preguntava sobre anells noetherianos unilaterals no conmutativos, no obstant, Israel Nathan Herstein va produir un contraeixemple en 1965, i poc despuix, Arun Vinayak Jategaonkar va produir un eixemple diferent que era un ideal principal d'esquerra domini. A partir d'eixe moment, la conjectura es va reformular per a requerir anells noetherianos de dos cares.

Resultats parcials

La conjectura de Jacobson s'ha verificat per a tipos particulars d'anells noetherianos:

• Tots els anells noetherianos conmutativos satisfan la conjectura de Jacobson. Açò és una conseqüència del teorema de l'intersecció de Krull.
• Anells noetherianos completament delimitats
• Anells noetherianos en dimensió Krull 1
• Anells noetherianos que satisfan la condició de la segona capa

Referències

Fonts

• (1974).«Sur l'intersection dones puissances du radical d'un T-anneau noethérien».Comptes Rendus de l'Académie dones Sciences, Série A.279

91–93.

• (2004).«An introduction to noncommutative Noetherian rings».Cambridge University Press.61

xxiv+344.

• (1965).«A counterexample in Noetherian rings».Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.54(4)

1036–1037.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.54.4.1036.

• (1968).«Left principal ideal domains».J. Algebra.8(2)

148–155.ISSN 0021-8693.doi:10.1016/0021-8693(68)90040-9.

• (1974).«Jacobson's conjecture and modules over fully bounded Noetherian rings».J. Algebra.30(1–3)

103–121.ISSN 0021-8693.doi:10.1016/0021-8693(74)90195-1.

• (1982).«Solvable Lie algebras, polycyclic-by-finite groups and bimodule Krull dimension».Comm. Algebra.10

19–69.ISSN 0092-7872.doi:10.1080/00927878208822700.

• (1977).«Noetherian rings with Krull dimension one».J. London Math. Soc..15

41–47.ISSN 0024-6107.doi:10.1112/jlms/s2-15.1.41.

• (1988).«Ring theory. Vol. I».Academic Press Inc..127

xxiv+538.