Cicle de Carnot

Per a atres usos d'este terme vore Carnot.

Esquema d'una màquina de Carnot. La màquina absorbix calor des de la font calenta T₁ i cedix calor a la freda T₂, produint treball.

El cicle de Carnot és un cicle termodinàmic que es produïx en un equip o màquina quan treballa absorbint una cantitat de calor Q₁ d'una font de major temperatura i cedint una calor Q₂ a la de menor temperatura produint un treball sobre l'exterior.

El rendiment d'este cicle ve definit per

η = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}

i, com es vorà avant, és major que el produït per qualsevol màquina que funcione cíclicamente entre les mateixes fonts de temperatura. Una màquina tèrmica que realisa este cicle es denomina màquina de Carnot.

Com tots els processos que tenen lloc en el cicle ideal són reversibles, el cicle pot invertir-se i la màquina absorbiria calor de la font freda i cediria calor a la font calenta, tenint que suministrar treball a la màquina. Si l'objectiu d'esta màquina és extraure calor de la font freda (per a mantindre-la freda) es denomina màquina frigorífica, i si és cedir calor a la font calenta, bomba de calor.

Va ser publicat per Sadi Carnot en 1824 en el seu únic llibre Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur els machines propres à développer cette puissance^[1] (Reflexions sobre la potència motriu del fòc i sobre les màquines pròpies a desenrollar esta potència) i va permetre obrir el camí per a la formulació de la segona llei de la termodinàmica.

El cicle de Carnot

Archiu:Caps block 2 Ciclo de Carnot.svg

Cicle de Carnot en el diagrama de Clapeyron (P i V)
- AB: expansió isoterma;
- BC: expansió adiabàtica;
- CD: compressió isoterma;
- DA: compressió adiabàtica.

Archiu:Carnot Two-Phase Cycle caps block 7 Diagramm.svg

Cicle de Carnot per a un cos difuso en el diagrama de Clapeyron:
- AB : evaporización completa;
- BC: expansió adiabàtica;
- CD: liqüefacció parcial;
- DA: compressió adiabàtica i liqüefacció del vapor present en D.

Archiu:Carnot-cycle- caps block 13 -diagram.svg

Cicle de Carnot en un diagrama temperatura-entropía.
- AB: expansió isoterma;
- BC: expansió adiabàtica;
- CD: compressió isoterma;
- DA: compressió adiabàtica.

El cicle de Carnot consta de quatre etapes: dos processos isoterms (a temperatura constant) i dos adiabàtics (aïllats tèrmicament). Les aplicacions del Primer principi de la termodinàmica estan escrits d'acort en el Criteri de signes termodinàmic.

Expansió isoterma (procés A → B en el diagrama): Es partix d'una situació en que el gas es troba al mínim volum del cicle i a temperatura T₁ de la font calenta. En este estat es transferix calor al cilindre des de la font de temperatura T₁, fent que el gas s'expandixca. En expandir-se, el gas tendix a gelar-se, pero absorbix calor de T₁ i manté la seua temperatura constant. En tractar-se d'un gas ideal, al no canviar la temperatura tampoc ho fa la seua energia interna, i despreciant els canvis en l'energia potencial i la cinètica, a partir de la 1.ª llei de la termodinàmica s'observa que tota la calor transferida és convertit en treball:

$Q_{12} > 0; U_{12} = 0 ⟹ 0 = U_{12} = Q_{12} - W_{12} ⟹ W_{12} = Q_{12} ⟹ W_{12} > 0$

Des del punt de vista de l'entropía, esta aumenta en este procés: per definició, una variació d'entropía ve donada pel cocient entre la calor transferida i la temperatura de la font en un procés reversible: $d S = \frac{δ Q}{T} |_{r e v}$ . Com el procés és efectivament reversible, la entropía aumentarà, $S_{12} = \frac{Q_{12}}{T_{1}} > 0$ .

Expansió adiabàtica (B → C): L'expansió isoterma termina en un punt tal que el restant de l'expansió puga realisar-se sense intercanvi de calor. A partir d'ací el sistema s'aïlla tèrmicament, en lo que no hi ha transferència de calor en l'exterior. Esta expansió adiabàtica fa que el gas es gele fins a alcançar exactament la temperatura T₂ en el moment en que el gas alcança el seu volum màxim. En gelar-se disminuïx la seua energia interna, en lo que utilisant un raonament anàlec a l'anterior procés:

$Q_{23} = 0; U_{23} < 0 ⟹ U_{23} = - W_{23} ⟹ W_{23} > 0$

Esta volta, al no haver transferència de calor, la entropía es manté constant: $S_{23} = 0$

Compressió isoterma (C → D): Es posa en contacte en el sistema la font de calor de temperatura T₂ i el gas comença a comprimir-se, pero no aumenta la seua temperatura perque va cedint calor a la font freda. Al no canviar la temperatura tampoc ho fa l'energia interna, i la cessió de calor implica que cal fer un treball sobre el sistema

$Q_{34} < 0; U_{34} = 0 ⟹ 0 = U_{34} = Q_{34} - W_{34} ⟹ W_{34} = Q_{34} ⟹ W_{34} < 0$

En ser la calor negativa, la entropía disminuïx: $S_{34} = \frac{Q_{34}}{T_{2}} < 0$

Compressió adiabàtica (D → A): Aïllat tèrmicament, el sistema evoluciona comprimint-se i aumentant la seua temperatura fins a l'estat inicial. L'energia interna aumenta i la calor és nula, havent que comunicar un treball al sistema:

$Q_{41} = 0; U_{41} > 0 ⟹ U_{41} = - W_{41} ⟹ W_{41} < 0$

En ser un procés adiabàtic, no hi ha transferència de calor, per lo tant la entropía no varia: $S_{41} = 0$

Treball del cicle

Per convenció de signes, un signe negatiu significa lo contrari. És dir, un treball negatiu significa que el treball és realisat sobre el sistema.

En este conveni de signes el treball obtingut deurà ser, per lo tant, negatiu. Tal com està definit, i despreciant els canvis en energia mecànica, a partir de la primera llei:

$d U = δ Q - δ W ⟹ δ W = δ Q - d U ⟹ W = \oint δ Q - d U$

Com dU (diferencial de l'energia interna) és una diferencial exacta, el valor d'O és el mateix a l'inici i al final del cicle, i és independent del camí, per lo tant l'integral de dU val zero, en lo que queda

$W = \oint δ Q = \int_{1}^{2} T_{1} d S + \int_{3}^{4} T_{2} d S = T_{1} (S_{B} - S_{A}) + T_{2} (S_{A} - S_{B}) = (T_{1} - T_{2}) (S_{B} - S_{A}) > 0$ .

Per lo tant, en el cicle el sistema ha realisat un treball sobre l'exterior.

Teoremes de Carnot

1. No pot existir una màquina tèrmica que funcionant entre dos fonts tèrmiques donades tinga major rendiment que una de Carnot que funcione entre eixes mateixes fonts tèrmiques.

Per a demostrar-ho se supondrà que no es complix la teorema, i es vorà que el no compliment transgrede el segon principi de la termodinàmica. Es tenen puix dos màquines, una cridada X i una atra, de Carnot, R, operant entre les mateixes fonts tèrmiques i absorbint la mateixa calor de la calenta. Com se supon que

η_{X} > η_{R}

, i per definició

$η_{X} = \frac{W_{X}}{Q_{1}}; η_{R} = \frac{W_{R}}{Q_{1}} ⟹ W_{X} > W_{R}, Q_{2 X} < Q_{2 R}$ ,

a on

W

i

Q_{2}

denoten el treball produït i la calor cedida a la font freda respectivament, i els subíndexs la màquina a la que es referixen.

Com a R és reversible, se li pot fer funcionar com màquina frigorífica. Com

W_{X} > W_{R}

, la màquina X pot suministrar a R el treball

W_{R}

que necessita per a funcionar com a màquina frigorífica, i X produirà un treball net

W_{X} - W_{R}

. En funcionar en sentit invers, R està absorbint calor

Q_{2 R}

de la font freda i està cedint calor

Q_{1}

a la calenta.

El sistema format per les dos màquines funciona cíclicamente realisant un treball

W_{X} - W_{R}

i intercanviant una calor

Q_{2 X} - Q_{2 R}

en una única font tèrmica, lo que va en contra del segon principi de la termodinàmica. Per lo tant:

η_{X} \leq η_{R}

2. Dos màquines reversibles operant entre les mateixes fonts tèrmiques tenen el mateix rendiment.

Igual que abans, se supon que no es complix la teorema i es vorà que es violarà el segon principi. Siguen R₁ i R₂ dos màquines reversibles, operant entre les mateixes fonts tèrmiques i absorbint la mateixa calor de la calenta, en distints rendiments. Si és R₁ la de menor rendiment, llavors

W_{R_{1}} < W_{R_{2}}

.

Invertint R₁, la màquina R₂ pot suministrar-li el treball

W_{R_{1}}

per a que treballe com a màquina frigorífica, i R₂ produirà un treball

W_{R_{2}} - W_{R_{1}}

.

El sistema format per les dos màquines funciona cíclicamente realisant un treball

W_{R_{2}} - W_{R_{1}}

i intercanviant una calor

Q_{2 R_{2}} - Q_{2 R_{1}}

en una única font tèrmica, lo que va en contra de la segona llei. Per lo tant:

η_{R_{1}} = η_{R_{2}}

Referències

↑ Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur els machines propres à développer cette puissance, Sadi Carnot, Gauthier-Villars, 1824 lire en ligne

Este artícul conté una traducció derivada de «Ciclo de Carnot» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur els machines propres à développer cette puissance, Sadi Carnot, Gauthier-Villars, 1824 lire en ligne

[1]