Procés isotèrmic

Procés isotèrmic.

Es denomina procés isotèrmic o procés isoterm al canvi reversible en un sistema termodinàmic, sent en dit canvi la temperatura constant en tot el sistema. La compressió o expansió d'un gas ideal pot portar-se a terme colocant el gas en contacte tèrmic en un atre sistema de capacitat calorífica molt gran i a la mateixa temperatura que el gas. Este atre sistema es coneix com foc calòric. D'esta manera, la calor es transferix molt llentament, permetent que el gas s'expandixca, realisant treball. Com l'energia interna d'un gas ideal solament depén de la temperatura i esta permaneix constant en l'expansió isoterma, la calor presa del foc és igual al treball realisat pel gas: Q = W. Una curva isoterma és una llínea que sobre un diagrama representa els valors successius de les diverses variables d'un sistema en un procés isoterm. Les isoterma d'un gas ideal en un diagrama P-V, cridat diagrama de Clapeyron, són hipérboles equiláteras, l'equació de les quals és P•V = constant.

Procés isotèrmic d'un gas

Erro al crear miniatura:

En un diagrama PV, la gràfica d'un procés isotèrmic per a un gas ideal forma una hipérbola rectangular. Açò significa que el producte de la pressió i el volum és constant a lo llarc del procés.

Una expansió isotèrmica és un procés en el qual un gas s'expandix (o contrau), mantenint la temperatura constant durant dit procés, és dir que T₁ = T₂ per als estats inicial (1) i final (2) del procés isotèrmic. Aplicant el primer principi de la termodinàmica s'obté:

$dQ=dU-dW$

Llavors integrant l'expressió anterior, prenent com a estat inicial l'estat 1 i estat final l'estat 2, s'obté:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}dQ=\underset{1}{\overset{2}{\int }}dU-\underset{1}{\overset{2}{\int }}dW\text{(1)}$

Per la definició de treball donada en mecànica es té que:

$dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$

Pero la força $\overrightarrow{F}$ es pot expressar en funció de la pressió que s'eixercix el gas, i el desplaçament $d\overrightarrow{r}$ es pot escriure com dx, llavors:

$dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=PAdx$

Pero Adx equival a dV, l'aument en el volum del gas durant esta chicoteta expansió, llavors el treball efectuat pel gas sobre les afores com a resultat de l'expansió és:

$dW=PAdx=-PdV\text{(2)}$

Ara reemplaçant (1) en (2) es pot integrar:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}dQ=\underset{1}{\overset{2}{\int }}dU+\underset{1}{\overset{2}{\int }}PdV\text{(3)}$

Pero per a integrar la tercera integral, és necessari conéixer la forma de variació de la pressió P en el volum, durant el procés tractat.

En el cas de tractar en gasos ideals, es tindria la relació:

$PV=nRT⟹P=\frac{nRT}{V}\text{(4)}$

Per lo tant reemplaçant (4) en (3) es té que:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}dQ=\underset{1}{\overset{2}{\int }}dU+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{nRT}{V}dV$

Com els valores n i R són constants per a cada gas ideal, i en este cas la temperatura també és constant, estes poden eixir fòra de l'integral obtenint-se:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}dQ=\underset{1}{\overset{2}{\int }}dU+nRT\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dV}{V}$

Ara integrant:

$Q=[U{]}_1^2+nRT[\ln V{]}_1^2$

$⟹Q=U_2-U_1+nRT(\ln V_2-\ln V_1)$

$⟹Q=U_2-U_1+nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)\text{(5)}$

Pero se sap que l'energia interna depén solament de la temperatura (Vore: L'energia interna com a funció de la temperatura), i com en este procés esta es manté constant, no hi ha canvi en l'energia interna del gas, per lo que l'expressió (5) es reduïx a:

$Q=U_2-U_1+nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

$⟹Q=nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

$⟹Q=W=nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Per lo tant, en una expansió isotèrmica d'un gas perfecte, la calor d'entrada és igual al treball efectuat pel gas.