Còdic de barres de persistència

En l'anàlisis de senyes topològiques, un còdic de barres de persistència, a voltes abreviat com a còdic de barres, és un invariante algebraic associat en un complex de cadena filtrada o un mòdul de persistència que caracterisa l'estabilitat de les característiques topològiques a lo llarc d'una família creixent d'espais. Formalment, un còdic de barres de persistència consistix en un conjunt múltiple d'intervals en la llínea real estesa, a on la llongitut de cada interval correspon a la vida útil d'una característica topològica en una filtració, generalment construïda sobre una núvol de punts, un gràfic, una funció o, més generalment, un complex simplicial o un complex de cadena. Generalment, els intervals més llarcs en un còdic de barres corresponen a característiques més sòlides, mentres que és més provable que els intervals més curts representen soroll en les senyes. Un còdic de barres de persistència és un invariante complet que captura tota l'informació topològica en una filtració. En topología algebraica, els còdics de barres de persistència varen ser introduïts per primera volta per Sergey Barannikov en 1994 com invariantes de "formes canòniques" que consistixen en un multiconjunto de segments de llínea en extrems en dos llínees paraleles, i més vesprada, en el processament de geometria, per Gunnar Carlsson et al. en 2004.

Definició

Deixar $𝔽$ ser un camp fix. Considere una funció de valor real en un complex de cadena. $f:K\to ℝ$ compatible en el diferencial, de modo que $f({\sigma }_i)\le f(\tau )$ quan siga $\partial \tau =\sum _i{\sigma }_i$ en $K$ . Llavors per a cada $a\in ℝ$ El conjunt de subniveles $K_a=f^{-1}((-\mathrm{\infty },a])$ és un subcomplejo de K, i els valors de $f$ en els generadors en $K$ definir una filtració (que en la pràctica sempre és finita):

$\mathrm{\varnothing }=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_n=K$ .

Llavors, el teorema de classificació de complexos filtrats establix que per a qualsevol complex de cadena filtrat sobre $𝔽$, existix una transformació llineal que preserva la filtració i du el complex filtrat a l'anomenada forma canònica, una suma directa definida canónicamente de complexos filtrats de dos tipos: complexos bidimensionales en homologia trivial $d(e_{a_j})=e_{a_i}$ i complexos unidimensionals en diferencials trivials $d(e_{a{\text{'}}_i})=0$. El multiconjunto ${ℬ}_f$ dels intervals $[a_i,a_j)$ o $[{a_i}^{\prime },\mathrm{\infty })$ La descripció de la forma canònica es denomina còdic de barres i és el invariante complet del complex de cadena filtrat.

El concepte de mòdul de persistència està íntimament lligat a la noció de complex de cadena filtrada. Un mòdul de persistència $M$ indexat sobre $ℝ$ consistix en una família de $𝔽$ - espais vectorials $\{M_t{\}}_{t\in ℝ}$ i mapes llineals ${\phi }_{s,t}:M_s\to M_t$ Per a cada u $s\le t$ de tal manera que ${\phi }_{s,t}\circ {\phi }_{r,s}={\phi }_{r,t}$ a pesar de $r\le s\le t$ . Esta construcció no és específica de $ℝ$ De fet, funciona de forma idèntica en qualsevol conjunt totalment ordenat.

Archiu:An example of the 0-dimensional persistence barcode of a filtered complex.png

Una série de quatre complexos simpliciales anidados i el còdic de barres de persistència de dimensió 0 de la filtració resultant.

Un mòdul de persistència $M$ Es diu que és de tipo finito si conté un número finito d'espais vectorials únics de dimensió finita. A esta última condició a voltes li la denomina " dimensionalidad finita puntual" .

Deixar $I$ ser un interval en $ℝ$ . Definir un mòdul de persistència $Q(I)$ a través de $Q(I_s)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }s\notin I;\\ 𝔽,& \text{otherwise}\end{array}$, a on els mapes llineals són el mapa identitat dins de l'interval. El mòdul $Q(I)$ A voltes li'l denomina mòdul d'interval.

Llavors, per a qualsevol $ℝ$ -mòdul de persistència indexat $M$ De tipo finito, existix un multiconjunto ${ℬ}_M$ d'intervals tals que $M\cong \underset{I\in {ℬ}_M}{⨁}Q(I)$, a on la suma directa dels mòduls de persistència es realisa índex per índex. El multiconjunto ${ℬ}_M$ es diu còdic de barres de $M$, i és únic fins a un reordenamiento dels intervals.

Este resultat va ser estés al cas de mòduls de persistència de dimensió finita puntuals indexats sobre un conjunt totalment ordenat arbitrari per William Crawley-Boevey i Magnus Botnan en 2020, basant-se en resultats coneguts de la teorema d'estructura per a mòduls generats finitamente sobre un PID, aixina com el treball de Cary Webb per al cas dels número entero.