Círculs de Malfatti

Círculs de Malfatti

En geometria, els círculs de Malfatti són tres circumferències situades en l'interior d'un triàngul dau, de manera que cada círcul és tangente als atres dos i a dos costats del triàngul. Deuen el seu nom al matemàtic italià Gian Francesco Malfatti (1731–1807), qui va realisar alguns dels primers estudis sobre el problema de construir estos círculs, en la creència equivocada de que tindrien un àrea total major que qualsevol atra possible configuració de tres círculs disjuntos dins del triàngul.

El problema de Malfatti s'ha utilisat per a referir-se tant al problema de la construcció dels círculs de Malfatti com al problema de trobar tres círculs que maximizar la seua àrea dins d'un triàngul.

Una construcció senzilla dels círculs de Malfatti va ser ideada per Jakob Steiner en 1826, i molts matemàtics han estudiat des de llavors el problema. El propi Malfatti va obtindre una fòrmula per als radis dels tres círculs. També es poden usar per a definir dos elements notables d'un triàngul, els punts Ajima-Malfatti d'un triàngul.

El problema de maximizar l'àrea total de tres círculs en un triàngul mai és resolt pels círculs de Malfatti. En canvi, la solució òptima sempre pot trobar-se per mig d'un algoritme voraç que determine el círcul més gran dins del triàngul donat, el círcul més gran dins dels tres subconjunts conectats del triàngul fora del primer círcul i el círcul més gran dins dels cinc subconjunts conectats del triàngul fòra dels dos primers círculs. Encara que es va formular per primera volta en 1930, fins a 1994 no es va poder demostrar que este procediment és correcte.

Problema de Malfatti

Comparació dels círculs de Malfatti i dels tres círculs que maximizar l'àrea en l'interior d'un triàngul equilátero

En 1803, Gian Francesco Malfatti va plantejar el problema de tallar tres columnes cilíndriques d'un prisma triangular de marbre, maximizar el volum total de les citades columnes. Va assumir, de la mateixa manera que molts uns atres despuix d'ell, que la solució a este problema estava donada per tres círculs tangentes dins de la secció travessera triangular de la falca, és dir, més abstractamente, conjeturó que els tres círculs de Malfatti tenen l'àrea total màxima de qualssevol tres círculs disjuntos dins d'un triàngul donat.

Malfatti publicava en italià, per lo que la seua obra original no va tindre molta difusió. Va ser popularisat per a un públic més ampli en ser traduït al francés per Joseph Diaz Gergonne en el primer volum dels seus Annales (1810/11), en una discussió més en els toms segon i dècim. No obstant, esta referència molt provablement va actuar com un filtre, ya que Gergonne solament va declarar el problema dels círculs tangentes, i no el de maximizar l'àrea.

La conjectura és incorrecta; Plantilla:Cita harvard, que varen tornar al text original en italià, varen observar que per a alguns triànguls es pot obtindre un àrea més gran utilisant un algoritme voraç que inscriu un sol círcul de radi màxim dins del triàngul; inscriu un segon círcul dins d'una dels tres cantons restants del triàngul, el que té l'àngul més menut; i inscriu un tercer círcul dins de la més gran de les cinc peces restants. La diferència d'àrea per a un triàngul equilátero és menuda, alguna cosa més del 1%,, pero com Howard Eves va senyalar en 1946, per a un triàngul isósceles en un àpiç molt agut, els círculs òptims (apilats uns damunt d'uns atres sobre la base del triàngul) tenen casi dos voltes l'àrea dels círculs de Malfatti.

(Goldberg, 1967) va demostrar que, per a cada triàngul, el procediment de Lob-Richmond produïx tres círculs en major àrea que els círculs de Malfatti, per lo que els círculs de Malfatti mai són òptims. Plantilla:Cita harvard varen classificar totes les diferents maneres en que un conjunt de círculs màxims poden ser empacados dins d'un triàngul; utilisant la seua classificació, varen demostrar que l'algoritme voraç sempre troba tres círculs de maximisació de l'àrea, i varen proporcionar una fòrmula per a determinar qué disposició és òptima per a un triàngul donat. En el seu doctorat en 1997, Melissen conjeturó més generalment que, per a qualsevol sancer n, l'algoritme voraç troba l'àrea que maximizar el sistema de n círculs dins d'un triàngul donat; la conjectura se sap que és certa para n ≤ 3.

Història

El problema de construir tres círculs tangentes entre sí dins d'un triàngul va ser plantejat pel matemàtic japonés del XVIII Ajima Naonobu abans de l'obra de Malfatti. Va ser inclós en una colecció inèdita de les obres de Ajima feta un any despuix de la seua mort pel seu alumne Kusaka Makoto. Encara abans, el mateix problema va ser considerat en un manuscrit de 1384 per Gilio vaig donar Cecco dona Montepulciano, conservat en la Biblioteca Comunale de Siena, Itàlia. Jakob Bernoulli també es diu que va estudiar un cas especial del problema, per a triànguls isósceles.

Des del treball de Malfatti, hi ha hagut una cantitat significativa d'investigació sobre els métodos per a construir els tres círculs tangentes de Malfatti; Richard Guy escriu que la lliteratura sobre el problema és "extensa, àmpliament dispersa, i no sempre conscient de sí mateixa". Notablement, en 1826 Jakob Steiner va presentar una construcció geomètrica simple basada en bitangentes. Atres autors han afirmat des de llavors que la presentació de Steiner caria d'una prova, que més vesprada va ser suministrada per Andrew Hart (1856), pero Guy senyala la prova dispersa dins de dos dels propis documents de Steiner des d'eixe moment. Lob i Richmond citen solucions per C. L. Lehmus (1819), Eugène Charles Catalan (1845), J. Derousseau (1895), A. Pampuch (1904) i J. L. Coolidge (1916), tots basats en formulació algebraiques del problema. Les solucions algebraiques no distinguixen entre les tangència internes i externes entre els círculs i el triàngul donat. Si el problema es generalisa per a permetre tangència de qualsevol tipo, llavors un triàngul donat tindrà 32 solucions diferents i, a l'inversa, un trio de círculs mútuament tangentes serà una solució per a huit triànguls diferents.Bottema (2001) i Guy (2007) citen treballs adicionals sobre el problema i les seues generalisacions de C. Adams (1846), Adolphe Quidde (1850), KH Schellbach (1853), Arthur Cayley (1854, 1857, 1875), Alfred Clebsch (1857), P. Simons (1874), J. Casey (1888), Rouché i Comberousse (1900), H. F. Baker (1925), L. J. Rogers (1928), Angelo Procissi (1932), Jun Naito (1975) i DG Rogers (2005).Gatto (2000) i Mazzotti (1998) han documentat un episodi en les matemàtiques Napolitanas del XIX relacionat en els círculs de Malfatti. En 1839, Vincenzo Flauti, un geómetra sintètic, va plantejar un repte que implicava la solució de tres problemes de geometria, un dels quals era la construcció dels círculs de Malfatti. La seua intenció en fer-ho era mostrar la superioritat de les tècniques sintètiques sobre les analítiques. A pesar de la solució donada per Fortunato Padula, estudiant d'una escola rival de geometria analítica, Flauti va concedir el premi al seu propi estudiant, Nicola Trudi, les solucions del qual ya coneixia Flauti quan va plantejar el seu desafiu. Més recentment, el problema de la construcció dels círculs de Malfatti s'ha utilisat per a posar a prova sistemes algebraics computacionals.

Vore també

• Farcidura en círculs d'un triàngul equilátero
• Farcidura en círculs d'un triàngul isósceles rectàngul
• Teorema dels sis círculs

Referències

• .
• .
• .
• .
• .

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• . La portada del llibre de Martin presenta una ilustració dels círculs de Malfatti.
• .
• .
• . Propost per Artemas Martin; resolt pel proponente i per Asher B. Evans; compare's en la pregunta de Martin 4401, també en este volum, pp. & Amp; 102-103, novament resolta per Evans i Martin. Note's, ademés, que Martin havia demanat una solució geomètrica en 1869 (de modo que apareixeria a finals de la década de 1869) en "The Lady's and Gentleman's Diary 1868), en solució en el LDG per a l'any següent, pp. 89-90. Versions del problema apareixen a partir de 1879 en "The Mathematical Visitor", editat per Martin. Marcus Baker, que havia resolt el primer problema, va propondre el segon; també va presentar una charrada que examinava el tema a la societat filosòfica de Washington en 1877, que va aparéixer per llavors reflectida en el "bolletí" de la societat. Esta proposta és potser la primera en anglés per a citar l'obra d'Adolfo Gustav Quidde, pero copiada d'una proposta en alemà.

.

• .
• .
• .
• .
• .