Farcidura en círculs d'un triàngul equilátero

La farcidura en círculs d'un triàngul equilátero és un problema d'empaquetat estudiat en matemàtiques discretes. Consistix en acomodar n círculs de ràdio unitat en el triàngul equilátero més chicotet possible.

Solucions

Es coneixen les solucions òptimes per a n < 13 i per a qualsevol número triangular de círculs, i en els anys 1990 es varen formular conjectura per a n < 28.

Una conjectura de Paul Erdős i Norman Olorar indica que, si n és un número triangular, llavors els empaquetamientos òptims dels n−1 i dels n círculs tenen la mateixa llongitut lateral: és dir, segons la conjectura, es pot trobar un empaquetamiento òptim per a n−1 círculs eliminant qualsevol círcul individual del empaquetamiento hexagonal òptim per a n círculs. Esta conjectura ara se sap que és verdadera per a n ≤ 15.

Solucions mínimes i la seua llongitut del costat del triàngul associat per a círculs de ràdio un:

Número de círculs	Número triangular	Llongitut	Àrea
1	Sí	$2\sqrt{3}$ = 3.464...	5.196...
2	No	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...	12.928...
3	Sí	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...	12.928...
4	No	$4\sqrt{3}$ = 6.928... Archiu:4 cirkloj en 60 60 60 triangulo.png	20.784...
5	No	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464... Archiu:5 cirkloj en 60 60 60 triangulo v1.png Archiu:5 cirkloj en 60 60 60 triangulo v2.png	24.124...
6	Sí	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464...	24.124...
7	No	$2+4\sqrt{3}$ = 8.928...	34.516...
8	No	$2+2\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{33}$ = 9.293...	37.401...
9	No	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...	38.784...
10	Sí	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...	38.784...
11	No	$4+2\sqrt{3}+\frac{4}{3}\sqrt{6}$ = 10.730...	49.854...
12	No	$4+4\sqrt{3}$ = 10.928...	51.712...
13	No	$4+\frac{10}{3}\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{6}$ = 11.406...	56.338...
14	No	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...	56.908...
15	Sí	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...	56.908...

Un problema estretament relacionat és cobrir el triàngul equilátero en un número fix de círculs iguals, tenint un radi tan chicotet com siga possible.

Vore també

• Farcidura en círculs d'un triàngul isósceles rectàngul
• Círculs de Malfatti, una construcció que brinda la solució òptima per a tres círculs en un triàngul equilátero