Barrera de potencial

En mecànica quàntica, la barrera de potencial finita és un problema modele mona-dimensional que permet demostrar el fenomen del efecte túnel. Per a això es resol l'equació de Schrödinger independent del temps per a una partícula que incidix sobre una barrera de potencial.

Característiques del moviment

Des del punt de vista clàssic, si l'energia de la partícula és menor que la barrera sempre serà reflectida, és dir, rebotada. Mentres que si l'energia és major que la de la barrera sempre la passarà.

El comportament quàntic esperat és molt diferent del clàssic. De fet succeïx que cuánticamente hi ha sempre una provabilitat finita de que la partícula "penetre" la barrera i continue viajant cap a l'atre costat, inclús quan l'energia de la partícula és menor que la de la barrera. La provabilitat de que la partícula passe a través de la barrera ve donada pel coeficient de transmissió, mentres que la provabilitat de que la partícula siga reflectida ve donada pel coeficient de reflexió.

Deducció

L'equació de Schrödinger independent del temps en una dimensió és

a on

$H$

és el Hamiltoniano,

$\hslash$

és la constant de Planck reduïda,

$m$

és la massa de la partícula,

$E$

és l'energia de la partícula i

Colisió d'una partícula en una barrera de potencial finito d'altura $V_0$. S'indiquen les amplitut i sentit (cap a la dreta i cap a l'esquerra) de les ones. Es representen en roig aquelles ones usades per a obtindre les amplitut de les ones reflectides i transmeses. En l'ilustració es considera el cas $E>V_0$.

és la barrera de potencial d'altura $V_0>0$ i esgambi $a$.

(Una forma més elegant d'expressar el potencial és en funció de la funció escaló de Heaviside, definida per $\Theta (x)=0,x<0;\Theta (x)=1,x\ge 0$. Llavors, el potencial s'expressa com $V(x)=V_0[\Theta (x)-\Theta (x-a)]$). En esta elecció del orige de coordenades, la barrera es troba entre $x=0$ i $x=a$. No obstant, és possible qualsevol atra elecció de l'orige de coordenades sense que canvien els resultats.

La barrera dividix l'espai en tres zones, corresponents a $x<0,0<x<a,x>a$. En cada una d'estes zones el potencial és constant, lo que significa que la partícula és cuasi-lliure. Aixina, la solució general es pot escriure com una superposició d'ones movent-se cap a la dreta i cap a l'esquerra. Per al cas en el que la partícula té una energia menor que la de la barrera ($E<V_0$), tindrem

a on el números està relacionat en l'energia

La relació entre els coeficients $A,B,C$ s'obté de les condiciones de contorn de la funció d'ona en $x=0$ i $x=a$. Aixina, les condicions de continuïtat de la funció d'ona i de la seua primera derivada s'expressen com:

Tenint en conte l'expressió de la funció d'ona, les condicions de contorn imponen les següents relacions entre els coeficients