Aplicació exponencial (geometria de Riemann)

Archiu:Azimuthal Equidistant caps block 0 .jpg

L'aplicació exponencial de la Terra des del pol nort és la proyecció equidistant assimutal polar en cartografia. En cada punt de l'image està representat el punt de la Terra corresponent per l'aplicació exponencial des del pol nort.

En geometria de Riemann, la aplicació exponencial és una aplicació que envia un subconjunt del espai tangente T_pM d'una varietat de Riemann (o varietat pseudo-Riemanniana) en un dels seus punts p, a la pròpia varietat M.

La mètrica (pseudo) Riemanniana determina una conexió afí canònica, i la funció exponencial de la varietat (pseudo) Riemanniana està donada per la funció exponencial d'esta conexió.

Definició

Siga M una varietat diferenciable i p un punt de M. Una conexió afí en M permet definir la noció d'una llínea recta que passa pel punt p.

Siga v ∈ T_pM un vector tangente a la varietat en p. Llavors existix una única geodèsica γ_v que partix del punt p en vector tangente inicial v (és dir, γ_v(0) = p i γ′_v(0) = v). La funció exponencial corresponent es definix per mig de exp_p(v) = γ_v(1), és dir, exp_p(v) és el punt al que apleguem en recórrer fins a "temps" t = 1 la geodèsica que partix de p en vector tangente inicial v.

En general, la funció exponencial no està definida en tot el pla tangente (és dir, per a tot vector v), puix no per a tots els vectores tangentes v la corresponent geodèsica γ_v estarà definida fins a t = 1. Intuitivament, si pensem la geodèsica γ_v com la trayectòria que seguix una partícula lliure confinada a M quan ix de p en velocitat inicial v, és possible que per a velocitats inicials suficientment grans el temps màxim de definició no aplegue a t = 1.

No obstant, és possible demostrar que sí que està definida en un entorn suficientment chicotet de l'orige en T_pM, i que envia este chicotet entorn a un entorn de p en la varietat. Açò es deu a que l'existència de la geodèsica γ_v es basa en la teorema d'existència i unicitat para equacions diferencials ordinàries, que és de naturalea local.

Ademés, l'aplicació exponencial resulta ser un difeomorfismo entre estos dos entorns. Açò es demostra per mig del teorema de la funció inversa comprovant prèviament que l'aplicació diferenciable de exp_p en l'orige del pla tangente és l'identitat (i és puix invertible). Esta propietat és important perque permet utilisar l'aplicació exponencial per a definir coordenades locals en la varietat, com per eixemple les coordenades geodèsiques normals.

Una conexió afí es denomina completa si la funció exponencial està ben definida en cada punt del fibrado tangente.

Propietats

Intuitivamente parlant, la funció exponencial pren un vector tangente a la varietat, recorre la geodèsica començant en eixe punt i seguix en eixa direcció, durant una unitat de temps. Com a v representa el vector velocitat de la geodèsica, la distància (riemanniana) que es recórrega realment en la varietat dependrà de v. També podem reparametrizar les geodèsiques per a que es recórreguen a velocitat unitària, per lo que, de forma equivalent, podem definir exp_p(v) = β(|v|) a on β és la geodèsica en la direcció de v recorreguda en velocitat unitària (intuitivament, les dos definicions coincidixen perque la primera recorrela geodèsica a velocitat v durant un segon i la segona recorre la mateixa geodèsica, pero a velocitat 1 i durant |v|). En variar el vector tangente v obtindrem, en aplicar exp_p, diferents punts en M que estan a una certa distància del punt base p —esta és potser una de les formes més concretes de demostrar que l'espai tangente a una varietat és una espècie de "linealización" de la varietat.

Referències

• . See Chapter 1, Sections 2 and 3.
• . See Chapter 3.
• Plantilla:Springer
• .
• .