Àlgebra de l'espai-temps

En física matemàtica, el àlgebra de l'espai-temps (STA) és un nom per al àlgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ), o també per al àlgebra geomètrica G(M⁴) . Segons David Hestenes, l'àlgebra de l'espai-temps pot estar particularment associat en la geometria de la relativitat especial i l'espai-temps relativiste.

És un espai vectorial que permet que no solament vectores, sino també bivectores (cantitats dirigides associades en plans particulars, com a àrees o rotacions) o làmines (cantitats associades en hipervolúmenes particulars) es combinen, aixina com roten, reflectixquen, o es impulsen per Lorentz. També és l'àlgebra parental natural dels espinores en la relativitat especial. Estes propietats permeten que moltes de les equacions més importants de la física s'expressen en formes particularment simples i poden ser molt útils per a una comprensió geomètrica dels seus significats.

Estructura

L'àlgebra de l'espai-temps es pot construir a partir d'una base ortogonal d'un vector similar al temps ${\gamma }_0$ i tres vectores espacials, $\{{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\}$, en la regla de la multiplicació

${\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }+{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu }=2{\eta }_{\mu \nu }$

on ${\eta }_{\mu \nu }$ és la mètrica de Minkowski en firma (+ − − −) .

Per lo tant, ${\gamma }_0^2=+1$, ${\gamma }_1^2={\gamma }_2^2={\gamma }_3^2=-1$, de lo contrari ${\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }=-{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu }$ .

Vectores de base ${\gamma }_k$ compartixen estes propietats en les matrius de Dirac, pero no és necessari utilisar una representació de matriu explícita en STA.

Açò genera una base d'un escalar $\{1\}$, quatre vectores $\{{\gamma }_0,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\}$, sis bivectores $\{{\gamma }_0{\gamma }_1,{\gamma }_0{\gamma }_2,{\gamma }_0{\gamma }_3,{\gamma }_1{\gamma }_2,{\gamma }_2{\gamma }_3,{\gamma }_3{\gamma }_1\}$, quatre pseudovectores $\{i{\gamma }_0,i{\gamma }_1,i{\gamma }_2,i{\gamma }_3\}$ i un pseudoescalar $\{i\}$, on $i={\gamma }_0{\gamma }_1{\gamma }_2{\gamma }_3$ .

Marque recíproc

Associat en la base ortogonal $\{{\gamma }_{\mu }\}$ és la base recíproca $\{{\gamma }^{\mu }={{\gamma }_{\mu }}^{-1}\}$ per $\mu =0,\dots ,3$, satisfent la relació

${\gamma }_{\mu }\cdot {\gamma }^{\nu }={{\delta }_{\mu }}^{\nu }.$

Estos vectores de trama recíprocs es diferencien només per un signe, en ${\gamma }^0={\gamma }_0$, i ${\gamma }^k=-{\gamma }_k$ per $k=1,\dots ,3$ .

Un vector pot estar representat en coordenades d'índex superior o inferior $a=a^{\mu }{\gamma }_{\mu }=a_{\mu }{\gamma }^{\mu }$ en suma sobre $\mu =0,\dots ,3$, segons la notació d'Einstein, a on les coordenades es poden extraure prenent productes escalares en els vectores base o els seus recíprocs.

$\begin{array}{cc}a\cdot {\gamma }^{\nu }& =a^{\nu }\\ a\cdot {\gamma }_{\nu }& =a_{\nu }.\end{array}$

Vore també

• Àlgebra geomètrica
• Equació de Dirac
• Relativitat general

•