Univers de Gödel

El univers de Gödel o mètrica de Gödel és una solució exacta de les equacions de camp d'Einstein de la relativitat general, proposta per Kurt Gödel en 1949. Descriu un tipo d'univers o espai-temps homogéneu ple de matèria pulverulenta en rotació.^[1]

Encara que no sembla que l'univers de Gödel descriga un tipo d'univers similar al nostre, el treball de Gödel va supondre un gran estímul en l'investigació teòrica de busca de solucions exactes més complexes que les examinades fins a llavors, caracterisades per un molt alt grau de simetria. Més tarde Gödel va generalisar el seu model per a fer-ho compatible en l'expansió de l'univers.

Forma de la mètrica

La geometria de l'univers de Gödel ve representada per una espai-temps $(ℝ^{4}, g)$ a on la mètrica pot representar-se en coordenades pseudocartesianas (t, x, i, z) i unitats en les que c = 1 en la forma:

(1) $g = - d t \otimes d t + d x \otimes d x - \frac{e^{2 \sqrt{2} ω x}}{2} d y \otimes d y + d z \otimes d z - e^{\sqrt{2} ω x} (d t \otimes d y + d y \otimes d t)$

A on $ω > 0$ és una constant, associada a la vorticitat del fluix de matèria, ademés esta vorticitat pot relacionar-se en la densitat de matèria d'este univers, tal com s'explica en la secció sobre el Contingut material.

Formes alternatives

La mètrica anterior pot escriure's com suma directa d'una mètrica que actua sobre la subvarietat definida per (t, x, i) i una atra mètrica que actua sobre les subvariedades unidimensionals donades associades a la variació de z, és dir:

$(ℝ^{4}, g) = (ℝ^{3} \times ℝ, g_{1} \oplus g_{2})$

Per a descriure les propietats d'este espai temps n'hi ha prou en restringir-se a la subvarietat tridimensional que s'obté suprimint la coordenada z. Per a examinar les propietats de l'espai-temps freqüentment s'usen les coordenades (T, R, φ, Z) relacionades en les pseudocartesianas per mig de les relacions:

En estes noves coordenades la mètrica, ignorant la part en Z pren la forma:

(2) $g = 2 ω^{- 2} [- d t \otimes d t + d R \otimes d R - ({sinh}^{4} (R) - {sinh}^{2} R) d φ \otimes d φ + 2 \sqrt{2} {sinh}^{2} (R) d φ \otimes d T]$

Propietats generals de l'espai-temps de Gödel

Contingut material

L'univers de Gödel és una solució de les equacions d'Einstein en constant cosmológica replet de matèria pulverulenta, és dir, sense pressió p = 0. El tensor gravitacional d'Einstein G_ij ve dau per:

És senzill vore que si es pren un valor de la constant cosmológica que complixca:

$- Λ = \frac{4 π G ρ}{c^{2}} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} > 0$

Llavors el tensor d'energia-impulse ve dau en les coordenades (t, x, i, z):

$(T_{i k}) = \frac{c^{2}}{8 π G} (R_{i k} - \frac{1}{2} g_{i k} R + Λ g_{i k}) = [\begin{matrix} ρ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Geodèsiques

Si $γ (τ) = (t (τ), x (τ), y (τ), z (τ))$ és l'expressió d'una curva usant el sistema de referència associat a les coordenades de (1) i del temps propi llavors eixa curva serà geodèsica si es complix que:

Tensor de Riemann

De les potencialment 55 components independents del tensor de Riemann, en les mateixes coordenades usades en la mètrica (1), el tensor de Riemann es pot escriure a partir de només quatre components diferents de zero:

Grup d'isometría

L'univers de Gödel té un grup d'isometría de dimensió 5, que la seua acció de grup opera transitivament sobre tota la varietat, i per tant, l'univers de Gödel és un espai-temps completament homogéneu. El grup d'isometría consta d'un subgrup tridimensional de translacions:

$(t, x, y, z) \mapsto (t + a, x, y + c, z + d)$

Els atres subgrups poden representar-se respectivament en les coordenades (t, x, i, z) i (T, R, φ, Z):

Una isometría general de l'univers de Gödel pot obtindre's combinant un número arbitrari de les anteriors transformacions.

Referències

↑ Casas, Alberto, 2025, p. 100-106.

Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973): The Large Scale Structure of Space-Clave. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. La secció 5.7 conté una discussió clàssica sobre les CTC en l'univers de Gödel..

Bibliografia

Cases, Alberto (2025). L'ilusió del temps, 1ª edició, Barcelona: Penguin Random House Grup Editorial. ISBN 978-84-666-8224-4.

Este artícul conté una traducció derivada de «Universo de Gödel» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTECasas,_Alberto2025{{{c}}}100-106-1] Casas, Alberto, 2025, p. 100-106.

[1]