Trinomi

En àlgebra, un trinomi és una expressió algebraiques d'únicament tres monomis, sumats o restats.

Eixemples de trinomis

1. $3x+5y-8z$ en $x$, $y$, $z$ variables.
2. $3t-9s^2+3y^3$ en $t$, $s$, $y$ variables.
3. $P{x}^a+Q{x}^b+R{x}^c$ en $x$ variable, les constants $a,b,c$ són sancers positius i $P$, $Q$, $R$ constants arbitràries.
4. $x^2-xy+y^2$, trinomi de segon grau de dos variables homogéneu.
5. $x^2+y^2+z^2$, de tres variables.

Casos diversos

Trinomi quadrat perfecte

Visualisació de la fòrmula per a un quadrat i per al seu trinomi quadrat perfecte

Un Trinomi quadrat perfecte, per brevetat TCP, és un polinomi de tres térmens que resulta d'elevar al quadrat un binomi.

Trinomi irreducible

• Un trinomi és irreducible en ℚ si no es pot factorizar en expressions de menor grau en elements que siguen número racional aixina com $x^2+4x+1$

Un trinomi és irreducible en ℝ quan no es pot factorizar en expressions de menor grau en elements que siguen reals aixina com $x^2+x+1$

Trinomi de segon grau en una variable

En igualar a zero s'obté una equació de segon grau, la qual ya ho havien resolt els babilonios usant taules de quadrats i atres càlculs.^{cita requerida} Com una funció representa en la geometria analítica, l'equació d'una paràbola, i esta té aplicacions en la física, en descriure la trayectòria d'un mòvil llançat; com també en el disseny dels fars d'un auto. El càlcul de l'àrea subtendida per un sector parabòlic, va ser realisat per Arquímedes en época anterior a l'era actual. Dit esforç són els inicis del càlcul integral, després repres/représ per Fermat, Newton i Leibniz, en l'época moderna.

Eixemples

Siga:

$12xy+9x^2+4y^2$

Ordenant segons les normes de l'àlgebra, de major a menor grau de $x$, resulta que:

$9x^2+12xy+4y^2$

I podem donar-nos conte de:

$9x^2=(3^2)(x^2)=(3x{)}^2$

$4y^2=(2y{)}^2$

$12xy=2(3x)(2y)$

Podem averiguar que és un TCP ya que complix en les normes:

$12xy+9x^2+4y^2={(\sqrt{9x^2}+\sqrt{4y^2})}^2=(3x+2y{)}^2$

Siga:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2+w^2+w{y}^{2}z$

Ordenant respecte a la variable de major potència ($y$) tenim:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2+w{y}^{2}z+w^2$

evaluant el trinomi, veem que:

$\frac{1}{4}{y}^4{z}^2={\left(\frac{1}{2}{y}^{2}z\right)}^2$

i

$w^2=(w{)}^2$

per últim, veem que

$2\left(\frac{1}{2}{y}^{2}z\right)(w)=w{y}^{2}z$

Llavors, l'expressió és un trinomi quadrat perfecte.

Trinomi de grau parell d'una variable

estos trinomis són de la forma:

$m{x}^{2p}+n{x}^p+l$ a on m, n, l són constants i p és un sancer positiu.

Eixemples

1. $5x^4-3x^2-1/4$, origina una equació anomenada bicuadrada
2. $-15t^{12}-3/4t^6-13/25$ un trinomi de duodècim grau

Trinomis usuals

1. $a{x}^2+bx+c$ que igualat a 0 , es coneix com l'equació general de segon grau en una variable
2. $x^2+px+q$ si es fa igual a 0 origina la forma reduïda d'una equació de segon grau
3. $y^3+py+q$ igualant a 0, origina l'equació cúbica reduïda d'una variable, a la que es pot aplicar la fòrmula de Cardano.
4. $x^2+x+1$ els seus zeros són les raïls cúbiques no reals d'1.
5. $x^4+x^2+1$= $(x^2+x+1)\times (x^2-x+1)$. Els seus zeros són la raïls cúbiques no reals d'1 i -1, respectivament.

Aplicacions

• Els trinomis factorisables en binomis llineals s'usen en operacions en fraccions algebraiques i en calcular el MCM i MCD d'expressions algebraiques sanceres
• En la descomposició en fraccions parcials, apareixen binomis llineals i trinomis quadràtics;

Per eixemple $\frac{2x+1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

Vore també

• Productes notables
• Factorisació
• Completar el quadrat