Trayectòria radial

En astrodinámica i mecànica celest, una trayectòria radial és una òrbita de Kepler en moment angular zero. Es diu que dos objectes es troben en una trayectòria radial quan s'acosten o allunten directament l'u de l'atre en llínea recta.

Classificació

Hi ha tres tipos de trayectòries radials (òrbites):

• Òrbita elíptica: és una òrbita que correspon a una elipse degenerada. Es desenrolla des del moment en el que els cossos estan en contacte i comencen a alluntar-se l'u de l'un atre fins que es toquen de nou. La velocitat relativa dels dos objectes és menor que la velocitat d'escape. És una òrbita elíptica en un semi-eix menor = 0 i excentricitat = 1. Encara que l'excentricitat és 1, no és una òrbita parabòlica. Si el coeficient de restitució dels dos cossos és 1 (perfectament elàstic) esta òrbita és periòdica. Si el coeficient de restitució és menor que 1 (inelástico), esta òrbita no és periòdica.
• Trayectòria radial parabòlica: és una òrbita no periòdica en la que la velocitat relativa dels dos objectes és sempre igual a la velocitat d'escape. Hi ha dos casos: els cossos s'allunten un de l'atre o s'acosten un cap a l'atre.
• Trayectòria radial hiperbòlica: és una òrbita no periòdica a on la velocitat relativa dels dos objectes sempre excedix la velocitat d'escape. Hi ha dos casos: els cossos s'allunten un de l'atre o s'acosten un cap a l'atre. És una òrbita hiperbòlica en un semi-eix menor = 0 i excentricitat = 1. Encara que l'excentricitat és 1, tampoc és una òrbita parabòlica.

A diferència de les òrbites habituals, que es classifiquen per la seua excentricitat orbital, les òrbites radials es classifiquen per la seua energia orbital específica: la suma constant de l'energia cinètica i potencial total, dividida per la massa reduïda:

$ϵ=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{x}$

a on x és la distància entre els centres de les masses, v és la velocitat relativa, i $\mu =G(m_1+m_2)$ és el paràmetro gravitacional estàndart.

Una atra constant ve donada per:

$w=\frac{1}{x}-\frac{v^2}{2\mu }=\frac{-ϵ}{\mu }$

• Per a trayectòries elíptiques, w és positiu. És l'invers de la distancia apoapsidal (distància màxima).
• Per a trayectòries parabòliques, w és zero.
• Per a trayectòries hiperbòliques, w és negatiu, i val $\frac{-v_{\mathrm{\infty }}^2}{2\mu }$, a on $v_{\mathrm{\infty }}$ és la velocitat a distància infinita.

El temps com una funció de la distància

Donades la distància de separació, la velocitat en qualsevol instant i la massa total, és possible determinar la posició dels dos cossos en qualsevol atre instant.

El primer pas és determinar la constant w. El signe de w servix per a establir el tipo d'òrbita.

$w=\frac{1}{x_0}-\frac{v_0^2}{2\mu }$

a on $x_0$ i $v_0$ són la separació i la velocitat relativa en qualsevol moment.

Trayectòria parabòlica

En este cas

$t(x)=\sqrt{\frac{2x^3}{9\mu }}$

a on t és el temps des d'o fins al moment en el que les dos masses, si foren masses puntuals, coincidirien, i x és la separació entre abdós.

Esta equació s'aplica solament a les trayectòries parabòliques radials. Per a les trayectòries parabòliques generals, vore l'equació de Barker.

Trayectòria elíptica

S'ajusta a l'equació següent

$t(x,w)=\frac{\arcsin (\sqrt{wx})-\sqrt{wx(1-wx)}}{\sqrt{2\mu }{w}^{3/2}}$

a on t és el temps des d'o fins al moment en el que les dos masses, si foren masses puntuals, coincidirien, i x és la separació entre abdós.

Esta fòrmula es denomina equació radial de Kepler.

Vegen-se també les equacions per a un cos en caiguda lliure.

Trayectòria hiperbòlica

Este cas pren la forma

$t(x,w)=\frac{\sqrt{(|w|x{)}^2+|w|x}-\ln (\sqrt{|w|x}+\sqrt{1+|w|x})}{\sqrt{2\mu }|w{|}^{3/2}}$

a on t és el temps des d'o fins al moment en el que les dos masses, si foren masses puntuals, coincidirien, i x és la separació entre abdós.

Forma universal (qualsevol trayectòria)

L'equació de Kepler radial es pot fer "universal" (aplicable a totes les trayectòries):

$t(x,w)=\underset{u\to w}{\lim }\frac{\arcsin (\sqrt{ux})-\sqrt{ux(1-ux)}}{\sqrt{2\mu }{u}^{3/2}}$

o expandint-se en una série de potències:

$t(x,w)=\frac{1}{\sqrt{2\mu }}{(\frac{2}{3}{x}^{3/2}+\frac{1}{5}w{x}^{5/2}+\frac{3}{28}{w}^2{x}^{7/2}+\frac{5}{72}{w}^3{x}^{9/2}+\frac{35}{704}{w}^4{x}^{11/2}\cdots )|}_{-1<w\cdot x<1}$