Teselado pentagonal

Els 15 tipos de teselados pentagonals monoedrales convexos del pla

El 15º tipo de tesela monoedral pentagonal convexa, descobert en 2015

En geometria, un teselado pentagonal és un tipo de recobriment del pla en el que cada peça individual té la forma d'un pentàgon.

Els recobriment a pur de peces pentagonals convexas del mateix tamany (els denominats teselados pentagonals monoedrales convexos) es varen convertir en objecte d'investigació geomètrica al començament de el XX. Han produït sorprenents resultats a lo llarc de més de cent anys, involucrant tant a matemàtics professionals com a matemàtics aficionats (entre els que destaca la singular història de Marjorie Rulle) a través dels artículs de Martin Gardner en la revista Scientific American. En este periodo, s'han anat descobrint quinze tipos de teselados pentagonals monoedrales convexos distints, estant pendent a finals de l'any 2017 la confirmació definitiva de la demostració formulada pel matemàtic francés Michaël Rao, de que no és possible que existixca cap atre tipo més.

Un teselado regular pentagonal en el pla euclidiano és impossible, perque l'àngul intern d'un pentàgon regular, 108°, no és un divisor de 360°, la mida angular d'un círcul complet. A pesar d'això, els pentàgons regulars poden recobrir tant una superfície hiperbòlica com una esfera.

Teselados pentagonals monoedrales convexos

Es coneixen quinze tipos de pentàgons convexos que formen recobriment del pla monoedrales (és dir, en un sol tipo de tesela).^[1] El més recent es va descobrir en 2015.Rao (2017) ha demostrat que la llista està completa (encara que el resultat està sent somés a revisió per parells).Bagina (2011) va demostrar que solament hi ha huit tipos de teselas convexas del tipo brode-a-vora, un resultat també obtingut independentment per Sugimoto (2012).

Michaël Rao,^[2] membre de l'Escola Normal Superior de Lió, va anunciar l'1 de maig de 2017 que havia trobat la prova de que no existix cap tipo més d'estos 15 teselados pentagonals monoedrales convexos.^[3] L'artícul de Rao està disponible per a la seua revisió per parells.^[4] El 11 de juliol de 2017, la primera mitat de la prova havia segut independentment verificada (el còdic d'ordenador disponible)^[5] per Thomas Hales, un professor de matemàtiques de l'Universitat de Pittsburgh.^[6] En decembre de 2017, la prova encara no havia segut plenament revisada.

Cada família enumerada conté pentàgons que no pertanyen a cap atre tipo. No obstant, alguns dels pentàgons individuals poden pertànyer a varis tipos. Ademés, determinats pentàgons pertanyents als tipos de recobriment coneguts també permeten formar patrons alternatius diferents als estàndarts exhibits per tots els membres del seu tipo.

Els costats de llongituts a, b, c, d, i estan respectivament situats immediatament a continuació dels vèrtiços A, B, C, D, I segons el sentit de les agulles del rellonge. (Aixina, A, B, C, D, I són respectivament oposts a d, i, a, b, c.)

Els 15 tipos de teselas pentagonals monoedrales
1	2	3	4	5
B+C=180° A+D+I=360°	c=i B+D=180°	a = b, d = c + i A = C = D = 120°	b = c, d = i B = D = 90°	a = b, d = i A = 60°, D = 120°
6	7	8	9	10
a = d = i, b = c B + D = 180°, 2B = I	b = c = d = i B + 2I = 2C + D = 360°	b = c = d = i 2B + C = D + 2I = 360°	b = c = d = i 2A + C = D + 2I = 360°	a = b = c + i A = 90°, B + I = 180°, B + 2C = 360°
11	12	13	14	15
2a + c = d = i A = 90°, 2B + C = 360° C + I = 180°	2a = d = c + i A = 90°, 2B + C = 360° C + I = 180°	d = 2a = 2i B = I = 90°, 2A + D = 360°	2a = 2c = d = i A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°, D ≈ 124.66°, I ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + I = 180°).	a = c = i, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, I = 90°

Molts d'estos tipos de teselas monoedrales tenen distints graus de llibertat, que inclouen variacions dels ànguls interns i de les llongituts dels costats. En el llímit, les vores poden tindre llongituts que s'aproximen a zero o ànguls casi de 180°. Els tipos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i 13 permeten possibilitats paramètriques en prototeselas no convexas (és dir, en algun àngul intern negatiu).

Els teselados periòdics es caracterisen per posseir la simetria del grup del paper pintat. Per eixemple, p2 (2222) està definit per quatre punts de gir de 2 lòbuls. Esta nomenclatura és utilisada en els esquemes següents, a on les teselas són també coloreadas per les seues posicions k-isoedrals dins de la simetria.

Una cela unitat és una secció del teselado que genera el recobriment sancer utilisant únicament translacions, i és tan chicoteta com siga possible.

Graus de llibertat

En la seua dissertació,^[7] Reinhardt va fer una classificació^[8] dels tipos de mosaics sobre les relacions d'aspecte dels seus cinc costats:

R-I Els cinc costats són diferents.
R-II Entre els cinc costats hi ha dos iguals; els atres són diferents d'estos i dels demés.
R-III₁ Entre els cinc costats, tres són iguals; els atres són diferents d'estos i dels demés.
R-III₂ Entre els cinc costats hi ha dos parells d'iguals pero diferents entre sí; l'últim és diferent d'estos.
R-IV₁ Entre els cinc costats, quatre són iguals; l'últim és diferent d'estos.
R-IV₂ Entre els cinc costats, tres són iguals i, els dos diferents són iguals entre sí.
R-V els cinc costats són iguals entre sí.

Els 15 tipos de teselas descrits són isoedrales, lo que significa que entre cada parell de teselas, existix una operació a pur de girs i simetria que permet superpondre una tesela sobre l'atra; en resum: que el teselado vist des de cada cela unitat "es veu igual". Molts dels 15 tipos de mosaic són vàries voltes isoedrales.

Tipo	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Graus de llibertat^[9]	5	4	1	2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0
Classe de Reinhardt	R-I	R-II	R-II	R-III₂	R-III₂	R-IV₂	R-IV₁	R-IV₁	R-II	R-IV₁	R-II	R-I	R-II	R-III₂	R-III₁
Vora-a-vora^[10]	abdós	abdós	no	si	si	si	si	si	si	no	no	no	no	no	no
k-isoedral^[11]	1	1	1	1	1	2	2	4	2	3	2	2	2	3	3
no convexo^[12]	si	si	no	si	si	si	si	si	si	no	no	no	si	no	no

Per al tipo de tesela 1 també existixen teselados aperiódicos.

Reinhardt (1918). Tipos 1, 2, 3, 4 i 5

Reinhardt (1918) va trobar els primers cinc tipos de teselas pentagonals. Les cinc poden crear teselados isoedrals, lo que significa que les simetria del teselado permeten substituir la tesela que es desige per qualsevol atra (més formalment, el grup de l'automorfisme actua transitivamente sobre les teselas).

B. Grünbaum i G. C. Shephard varen demostrar que hi ha exactament vintiquatre tipos "distints" de teselados isoedrales del pla utilisant pentàgons segons el seu esquema de classificació.^[13] Tots utilisen teselas de Reinhardt, normalment en les condicions adicionals necessàries per a permetre el teselado. Entre tots estos teselados existixen dos recobriment en teselas del tipo 2, i un per cada u dels atres quatre tipos. Quinze dels atres díhuit teselados són casos especials del tipo 1. Nou dels vintiquatre són del tipo brode-a-vora (és dir, cap vèrtiç coincidix en un punt intermig de la vora d'una tesela adjacent).^[14]

Hi ha també teselados 2-isoedrales que consistixen en casos especials del tipo 1, tipo 2, i tipo 4, i teselados 3-isoedrales, tots vora-a-vora, per casos especials del tipo 1. No hi ha llímit superior en k per a teselados k-isoedrales per a certs tipos que són simultàneament del tipo 1 i del tipo 2, i d'ahí tampoc en el número de teselas en una cela unitat.

La simetria de el grup del paper pintat per a cada teselado s'indica en notació orbifold entre paréntesis. Un segon grup de simetria més elemental es produïx si la tesela posseïx quiralidad, ya que les imàgens especulares es poden considerar distintes entre sí. En estos casos les teselas s'han representat de color vert i de color groc.

Tipo 1

Existixen numeroses topología de teselas que contenen pentàgons del tipo 1. A continuació es mostren cinc d'elles.

Teselados pentagonals del tipo 1
p2 (2222)	cmm (2*22)	cm (×)	pmg (22*)	pgg (22×)	p2 (2222)	cmm (2*22)
p2 (2222)	cmm (2*22)	p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)	p2 (2222)	cmm (2*22)

cela unitat de 2-teselas			cela unitat de 4-teselas
B + C = 180° A + D + I = 360°		a = c, d = i A + B = 180°, A + D + I = 360°	a = c A + B = 180°, C + D + I = 360°	a = i B + C = 180°, A + D + I = 360°	d = c + i A = 90°, C + D = 180° 2B + C = 360° B + I = 270°

Tipo 2

Els eixemples del tipo 2 són isoedrales. El segon és una variació brode-a-vora. Abdós posseïxen simetria pgg (22×). Si les prototeselas image especular d'atres (grogues i verdes) es consideren distintes, la simetria és p2 (2222).

Teselados pentagonals del tipo 2
pgg (22×)
p2 (2222)

cela unitat de 4-teselas
c = i B + D = 180°	c = i, d = b B + D = 180°

Tipos 3, 4, i 5

Teselados pentagonals dels tipos 3, 4 i 5
Tipo 3		Tipo 4		Tipo 5
p3 (333)	p31m (3*3)	p4 (442)	p4g (4*2)	p6 (632)


cela unitat de 3-teselas		cela unitat de 4-teselas		cela unitat de 6-teselas	cela unitat de 18-teselas
a = b, d = c + i A = C = D = 120°		b = c, d = i B = D = 90°		a = b, d = i A = 60°, D = 120°	a = b = c, d = i A = 60°, B = 120°, C = 90° D = 120°, I = 150°

Kershner (1968). Tipos 6, 7 i 8

Kershner (1968) va trobar tres tipos més de teselas pentagonals, duent el total a huit. Va anunciar equivocadamente que s'havia completat la llista de teselados pentagonals capaces de recobrir el pla.

Els següents eixemples són 2-isoedrales i vora-a-vora. El tipo 8 posseïx parells de teselas quirales, coloreadas en groc i vert, i en dos tons de blaus. La simetria pgg queda reduïda a p2 quan els parells quirales es consideren distints.

Teselados pentagonals dels tipos 6, 7 i 8
Tipo 6	Tipo 6 (També tipo 5)	Tipo 7	Tipo 8
p2 (2222)		pgg (22×)	pgg (22×)
p2 (2222)		p2 (2222)	p2 (2222)


a = d = i, b = c B + D = 180°, 2B = I	a = d = i, b = c B = 60°, A = C = D = I = 120°	b = c = d = i B + 2I = 2C + D = 360°	b = c = d = i 2B + C = D + 2I = 360°
cela unitat de 4-teselas	cela unitat de 4-teselas	cela unitat de 8-teselas	cela unitat de 8-teselas

James (1975). Tipo 10

En 1975, Richard E. James III va trobar un nové tipo, despuix de llegir sobre els resultats de Kershner en la columna de "Jocs Matemàtics" de Martin Gardner en la revista Scientific American de juliol de 1975 (reimpreso en Gardner (1988)). És indexat com a tipo 10. El teselado és 3-isoedral, pero no vora-a-vora.

Teselados pentagonals del tipo 10
p2 (2222)	cmm (2*22)

Erro al crear miniatura:
a=b=c+i A=90, B+I=180°, B+2C=360°	a=b=2c=2i A=B=I=90°, C=D=135°
cela unitat de 6-teselas

Rulle (1977). Tipos 9, 11, 12 i 13

Marjorie Rulle, una matemàtica aficionada, va descobrir quatre tipos nous de teselados pentagonals en 1976 i 1977.^[14]^[15]

Tots són 2-isoedrales. Els parells quirales de teselas han segut coloreats en groc i vert per a un conjunt isoedral, i en dos tons de blau per a l'atre conjunt. La simetria pgg queda reduïda a p2 quan els parells quirales es consideren distints.

El tipo 9 és del tipo brode-a-vora, pero els atres no ho són.

Cada cela unitat conté huit rajoletes.

Teselados pentagonals dels tipos 9, 11, 12 i 13
Tipo 9	Tipo 11	Tipo 12	Tipo 13
pgg (22×)
p2 (2222)


b=c=d=i 2A+C=D+2I=360°	2a+c=d=i A=90°, 2B+C=360° C+I=180°	2a=d=c+i A=90°, 2B+C=360° C+I=180°	d=2a=2i B=I=90°, 2A+D=360°
cela unitat de 8-teselas	cela unitat de 8-teselas	cela unitat de 8-teselas	cela unitat de 8-teselas

Stein (1985). Tipo 14

El tipo 14º de teselado pentágonal convexo va ser trobat per Rolf Stein en 1985.^[16]

El teselado és 3-isoedral, pero no vora-a-vora. Posseïx teselas completament determinades, sense graus de llibertat. Algunes equacions exactes són:

b = a \sqrt{\frac{11 \sqrt{57} - 25}{8}}

,

\sin (B) = \frac{\sqrt{57} - 3}{8}

,

\cos (B) = - \sqrt{\frac{3 \sqrt{57} - 1}{32}}

,

\tan (B) = - \frac{1}{4} \sqrt{3 \sqrt{57} - 15}

.

Atres relacions similars poden deduir-se fàcilment.

Cada cela unitat conté sis teselas. Posseïx simetria p2 (2222).

Teselado pentagonal del tipo 14
	Erro al crear miniatura: 2a=2c=d=i A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°, D≈124.66°, I≈110.68° (2B+C=360°, C+I=180°).	cela unitat de 6-teselas

Mann/McLoud/Von Derau (2015). Tipo 15

Els matemàtics de l'Universitat Bothell de Washington Casey Mann, Jennifer McLoud, i David Von Derau varen descobrir el tipo 15º de teselado monoedral pentagonal convexo en 2015, utilisant un algoritme d'ordenador.^[17] L'artícul a on s'explicava la troballa va ser publicada en octubre de 2015.^[18]

És 3-isoedral, pero no vora-a-vora. Representat en 6 colors, 2 tons de 3 d'estos colors, presenta parells quirales de posicions tres isoedrales. La simetria pgg queda reduïda a p2 quan els parells quirales són considerats distints.

Posseïx teselas completament determinades, sense graus de llibertat. La cela unitat conté dotze teselas. La seua simetria és pgg (22×), i p2 (2222) si es consideren distints els parells quirales.

Teselado pentagonal del tipo 15
(Image a l'inici de l'artícul)	Erro al crear miniatura: a=c=i, b=2a, d= Plantilla:Raïl a A=150°, B=60°, C=135° D=105°, I=90°	cela unitat de 12-teselas

Teselados monoedrales pentagonals aperiódicos

També poden construir-se teselados monoedrales pentagonals aperiódicos, com el següent eixemple en simetria rotacional de 6-lòbuls, ideat per Michael Hirschhorn. Els ànguls són A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, I = 100°.^[19]

Bernhard Klaassen va demostrar en 2016 (encara per confirmar) que cada tipo de simetria rotacional discreta pot ser representada per un teselado pentagonal monoedral de la mateixa classe de pentàgons.^[20]^[21] Dos eixemples per a la simetria de 5-lòbuls i la de 7-lòbuls es mostren a continuació. Tals teselados són possibles per a qualsevol tipo de simetria rotacional de n-lòbuls per a n>2.

Teselado pentagonal monoedral en simetria rotacional de 5-lòbuls	Teselado pentagonal monoedral de Hirschhorn en simetria rotacional de 6-lòbuls	Teselado pentagonal monoedral en simetria rotacional de 7-lòbuls

Teselados uniformes duals

Existixen tres teselados pentagonals isoedrales, generats com duals de teselados uniformes en vèrtiços de valència 5. Representen casos especials en major simetria dels 15 casos descoberts de teselados monoedrales. Els teselados uniformes i els seus duals són tots vora-a-vora. Estos recobriment duals també són denominats teselados de Llaves. La seua simetria és igual a la dels teselados uniformes dels que procedixen. Els teselados uniformes són isogonales, i els duals són isoedrales.

cmm (2*22)	p4g (4*2)	p6 (632)

Eixemple de teselado pentagonal prismàtic del tipo 1	Teselación pentagonal d'El Caire, eixemple de teselado del tipo 4^[22]	Teselado pentagonal floreado, eixemple dels tipos 1, 2 i 5^[23]
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4	Erro al crear miniatura: 120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6

Teselados k-uniformes duals

Els teselados k-uniformes en vèrtiços de valència 5 també tenen teselados pentagonals duals, contenint els mateixos tipos de pentàgons de tres llongituts de costat dels duals cuasiregulares anteriors, pero contenint una mescla de tipos pentagonals. Un teselado k-uniforme té un teselado k-isoedral dual, representat per tons i colors diferents de colors a continuació.

Per eixemple, estos teselados 2, 3, 4, i 5-uniformes duals són tots pentagonals:^[24]^[25]

2-isoedral		3-isoedral
p4g (4*2)	pgg (22×)		p2 (2222)	p6 (*632)
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura:		Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
4-isoedral			5-isoedral
pgg (22×)		p2 (2222)		p6m (*632)
Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
5-isoedral
pgg (22×)			p2 (2222)
	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:	Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:

Referències

↑ Tilings and Patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons
↑ Michaël Rao
↑ Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane
↑ Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane Cornell University. Michaël Rao
↑ Publications-of-thomas-hales/projects_discrete_geom/rao-pentagon-tilings
↑ Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem
↑ Karl Reinhardt: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a. M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918). Bitte beachten: Auf S. 77 befindet sich ein Fehler. Die Winkelsumme γ + δ für die ersten beiden Parkettierungstypen muss π sein, und nicht 2π (wie angegeben).
↑ En 6 de les 7 classes d'esta divisió dels pentàgons en la pàgina 76, Reinhardt usa la paraula "diferent", pero lo que s'entén és "possiblement diferent", és dir, indica que R-I: "les relacions d'aspecte són arbitràries".
↑ Jaap Scherphuis © 2009-2017 Tilings
↑ si = tots vora-a-vora; no = cap vora-a-vora; abdós = dels dos tipos
↑ Tilings with a convex pentagonal tile k-isoedral (k∈{1,2,3,4}) eingefärbte Parkettierungen mit Fünfecken
↑ no = solament hi ha revestiment convexos
↑ Grünbaum; Shephard, 1978.
↑ ^14,0 ^14,1 Schattschneider, 1978.
↑ «Tessellations - Intriguing Tessellations». google.com. Consultat el 22 d'agost de 2015.
↑ Schattschneider, 1985.
↑ Bells, Alex. Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile.
↑ Plantilla:Cite arxiv
↑ Tiling the Plane with Congruent Pentagons [1] archivat en Wayback Machine., Doris Schattschneider, Mathematics Magazine, January 1978, Fig 12
↑ Klaassen, Bernhard. “Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”. Elemente der Mathematik 71 (4): 137–144. doi:10.4171/em/310. ISSN 0013-6018.
↑ Plantilla:Cite arxiv
↑ Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (conte: la definició en wolfram del tipo 2 no es correspon en la donada per Reinhardt en 1918)
↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas». (conte: hi ha a lo manco un error obvi en este artícul: la suma dels ànguls γ+δ deu ser necessàriament igual a π, no a 2π com s'indica en els primers dos tipos de teselados definits en la pàgina 77)
↑ Chavey, 1989.
↑ n-uniform tilings, Brian Galebach

Bibliografia

(2011).«ru:Мозаики из выпуклых пятиугольников (Tilings of the plane with convex pentagons)».Vestnik.Kemerovo State University.4(48)

63–73.ISSN 2078-1768.Consultat el 29 de giner de 2013.

(1989).«Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings».Computers & Mathematics with Applications.17

147–165.doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.

(1988).«Clave travel and other mathematical bewilderments».W. H. Freeman and Company.New York:
^{[enllaç trencat]}
(1987).«Tilings and Patterns».W. H. Freeman and Company.New York:
(1985).«Equilateral convex pentagons which tile the plane».Journal of Combinatorial Theory. Séries A.39(1)

1–18.ISSN 1096-0899.doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0.

(1968).«On paving the plane».American Mathematical Monthly.75(8)

839–844.ISSN 0002-9890.doi:10.2307/2314332.

(1918).«Über die Zerlegung der Ebene in Polygone».Borna-Leipzig, Druck von Robert Noske,.
(1978).«Tiling the plane with congruent pentagons».Mathematics Magazine.51(1)

29–44.ISSN 0025-570X.doi:10.2307/2689644.

(1985).«A new pentagon tiler».Mathematics Magazine.58(5)
(2017).«Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane».Manuscript.

16.

Errata [2] archivat en Wayback Machine., Forma 25 (1)

49, 2010, Plantilla:MR
(2012).«Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I.».Forma.27(1)

93–103.Consultat el 28 de decembre de 2017.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teselado pentagonal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Tilings and Patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons

[2] Michaël Rao

[3] Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane

[4] Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane Cornell University. Michaël Rao

[5] Publications-of-thomas-hales/projects_discrete_geom/rao-pentagon-tilings

[6] Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem

[7] Karl Reinhardt: Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Inaugural-Dissertation, zur Erlangung der Doktorwürde der Hohen Naturwissenschaftlichen Fakultät der Königlichen Universität zu Frankfurt a. M., Robert Noske, Borna-Leipzig (1918). Bitte beachten: Auf S. 77 befindet sich ein Fehler. Die Winkelsumme γ + δ für die ersten beiden Parkettierungstypen muss π sein, und nicht 2π (wie angegeben).

[8] En 6 de les 7 classes d'esta divisió dels pentàgons en la pàgina 76, Reinhardt usa la paraula "diferent", pero lo que s'entén és "possiblement diferent", és dir, indica que R-I: "les relacions d'aspecte són arbitràries".

[9] Jaap Scherphuis © 2009-2017 Tilings

[10] si = tots vora-a-vora; no = cap vora-a-vora; abdós = dels dos tipos

[11] Tilings with a convex pentagonal tile k-isoedral (k∈{1,2,3,4}) eingefärbte Parkettierungen mit Fünfecken

[12] = solament hi ha revestiment convexos

[FOOTNOTEGrünbaum;_Shephard1978{{{c}}}-13] Grünbaum; Shephard, 1978.

[FOOTNOTESchattschneider1978{{{c}}}-14] 14,0 ^14,1 Schattschneider, 1978.

[15] «Tessellations - Intriguing Tessellations». google.com. Consultat el 22 d'agost de 2015.

[FOOTNOTESchattschneider1985{{{c}}}-16] Schattschneider, 1985.

[17] Bells, Alex. Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile.

[18] Plantilla:Cite arxiv

[19] Tiling the Plane with Congruent Pentagons [1] archivat en Wayback Machine., Doris Schattschneider, Mathematics Magazine, January 1978, Fig 12

[20] Klaassen, Bernhard. “Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”. Elemente der Mathematik 71 (4): 137–144. doi:10.4171/em/310. ISSN 0013-6018.

[21] Plantilla:Cite arxiv

[22] Cairo pentagonal tiling generated by a pentagon type 4 query and by a pentagon type 2 tiling query on wolframalpha.com (conte: la definició en wolfram del tipo 2 no es correspon en la donada per Reinhardt en 1918)

[Reinhardt1918-23] Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas». (conte: hi ha a lo manco un error obvi en este artícul: la suma dels ànguls γ+δ deu ser necessàriament igual a π, no a 2π com s'indica en els primers dos tipos de teselados definits en la pàgina 77)

[FOOTNOTEChavey1989{{{c}}}-24] Chavey, 1989.

[25] -uniform tilings, Brian Galebach

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]