Teorema de dilatació de Naimark

En la teoria de l'operador, la teorema de dilatació de Naimark és un resultat que caracterisa les mides positives valorades per l'operador. Pot vore's com una conseqüència del teorema de dilatació de Stinespring.

Algunes nocions preliminars

Siga X un espai compacte de Hausdorff, H un espai de Hilbert i L(H) l'espai de Banach d'operadors acotats en H. Un mapage I del àlgebra σ de Borel en X a $L(H)$ es denomina mida valorada per l'operador si és débilmente aditiva contablemente, és dir, per a qualsevol seqüència disjunta de conjunts de Borel $\{B_i\}$, tenim

$⟨E({\cup }_i{B}_i)x,y⟩=\sum _i⟨E(B_i)x,y⟩$

per a tot x i i. Alguna terminologia per a descriure tals mides és:

• I es diu regular si la mida en valor escalar

$B\to ⟨E(B)x,y⟩$

és una mida de Borel regular, lo que significa que tots els conjunts compactes tenen una variació total finita i la mida d'un conjunt pot aproximar-se a les dels conjunts oberts.

• I es diu acotada si $|E|=\underset{B}{\sup }\Vert E(B)\Vert <\mathrm{\infty }$.
• I es diu positiu si I(B) és un operador positiu para tot B.
• I es diu autoadjunto si I(B) és autoadjunto para tot B.
• I es diu espectral si és autoadjunto i $E(B_1\cap B_2)=E(B_1)E(B_2)$ per a tots $B_1,B_2$.

Supondrem en tot moment que I és regular.

Siga C(X) l'àlgebra abeliana C* de funcions contínues en X. Si I és regular i acotat, induïx un mapa ${\Phi }_E:C(X)\to L(H)$ de la manera òbvia:

$⟨{\Phi }_E(f)h_1,h_2⟩=\underset{X}{\int }f(x)⟨E(dx)h_1,h_2⟩$

La acotación de I implica, per a tot h de norma unitària

$⟨{\Phi }_E(f)h,h⟩=\underset{X}{\int }f(x)⟨E(dx)h,h⟩\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\cdot |E|.$

Estos espectàculs ${\Phi }_E(f)$ és un operador acotat per a tot f, i ${\Phi }_E$ En sí mateixa també és un mapa llineal acotat.

Les propietats de ${\Phi }_E$ estan directament relacionats en els de I:

• Si I és positiu, llavors ${\Phi }_E$, vist com un mapa entre àlgebra C*, també és positiu.
• ${\Phi }_E$ és un homomorfisme si, per definició, per a tot f continu en X i $h_1,h_2\in H$,

$⟨{\Phi }_E(fg)h_1,h_2⟩=\underset{X}{\int }f(x)\cdot g(x)⟨E(dx)h_1,h_2⟩=⟨{\Phi }_E(f){\Phi }_E(g)h_1,h_2⟩.$

Prenga f i g com a funcions indicadores de conjunts de Borel i veem que ${\Phi }_E$ és un homomorfisme si i només si I és espectral.

• De manera similar, dir ${\Phi }_E$ respecta el * mig de funcionament

$⟨{\Phi }_E(\overline{f})h_1,h_2⟩=⟨{\Phi }_E(f{)}^{*}{h}_1,h_2⟩.$

El LHS és

$\underset{X}{\int }\overline{f}⟨E(dx)h_1,h_2⟩,$

i el RHS és

$⟨h_1,{\Phi }_E(f)h_2⟩=\overline{⟨{\Phi }_E(f)h_2,h_1⟩}=\underset{X}{\int }\overline{f}(x)\overline{⟨E(dx)h_2,h_1⟩}=\underset{X}{\int }\overline{f}(x)⟨h_1,E(dx)h_2⟩$

Llavors, prenent una seqüència de funcions contínues que aumenten fins a la funció indicadora de B, obtenim $⟨E(B)h_1,h_2⟩=⟨h_1,E(B)h_2⟩$, és dir, I (B) és autoadjunto.

• Combinant els dos fets anteriors s'aplega a la conclusió de que ${\Phi }_E$ és un * -homomorfisme si i només si I és espectral i autoadjunto. (Quan I és espectral i autoadjunto, es diu que I és una mida valorada per proyecció o PVM).

Teorema de Naimark

La teorema diu lo següent: Siga I una mida positiva en valor de L(H) en X. Existix un espai de Hilbert K, un operador acotat $V:K\to H$, i una mida espectral autoadjunta en valor de L(K) en X, F, tal que

$E(B)=VF(B)V^{*}.$

Prova

Esbossem ara la prova. L'argument passa I al mapa induït. ${\Phi }_E$ i utilisa el teorema de dilatació de Stinespring. Com I és positiu, també ho és ${\Phi }_E$ com un mapa entre C*-àlgebra, com es va explicar anteriorment. Ademés, degut a que el domini de ${\Phi }_E$, C(X), és un àlgebra C* abeliana, tenim que ${\Phi }_E$ és completament positiu. Segons el resultat de Stinespring, existix un espai de Hilbert K, un *-homomorfisme $\pi :C(X)\to L(K)$ i operador $V:K\to H$ tal que

${\Phi }_E(f)=V\pi (f)V^{*}.$

Ya que π és un * -homomorfisme, el seu corresponent medida F valorada per l'operador és espectral i autoadjunta. Es veu fàcilment que F té les propietats desijades.

Bibliografia

• V. Paulsen, Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press, 2003.