Teorema de Gauss-Lucas

En anàlisis complex, la teorema de Gauss-Lucas aporta una relació geomètrica entre les raïls d'un polinomi P i les raïls de la seua derivada P'. El conjunt de raïls d'un polinomi real o complex és un conjunt de punts en el pla complex. La teorema diu que totes les raïls de P' cauen en l'envoltura convexa de les raïls de P, és dir, el menor dels polígons convexos que conté les raïls de P. Quan P té una sola raïl, esta envoltura convexa consistix en un sol punt; i quan les raïls definixen una recta, la envoltura convexa és un segment d'eixa recta. La teorema de Gauss-Lucas, nomenat en honor a Carl Friedrich Gauss i Félix Lucas és en essència similar al teorema de Rolle.

Representació gràfica de les raïls d'un polinomi (en negre) i de les raïls de la seua derivada (en roig), sobre el pla dels número complex:

$\begin{array}{cc}p(z)=& z^7+(-38-12i)z^6\\ & +(556+390i)z^5\\ & +(-3930-5198i)z^4\\ & +(11595+36880i)z^3\\ & +(15008-140406i)z^2\\ & +(-166180+234010i)z\\ & +234900-76800i\end{array}$$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }(z)=& 7z^6+(-228-72i)z^5\\ & +(2780+1950i)z^4\\ & +(-15720-20792i)z^3\\ & +(34785+110640i)z^2\\ & +(30016-280812i)z\\ & -166180+234010i\end{array}$

Teorema

Si P és un polinomi (no constant) en coeficients complexos, tots els zeros de P ' pertanyen a la envoltura convexa del conjunt de zeros de P. C. F. Gauss i F. Lucas

Casos especials

És fàcil vore que si P(x) = ax² + bx + c és un polinomi de segon grau, el zero de P '(x) = 2ax + b és la mija dels zeros de P. En eixe cas, la envoltura convexa és el segment que té les dos raïls com a extrems i la mija de les raïls és el punt mig del mateix.

Ademés, si un polinomi de grau n de coeficients reals té n raïls reals distintes $x_1<x_2<\cdots <x_n$, es pot vore que, usant el teorema de Rolle, els zeros de la derivada del polinomi es troben en l'interval $[x_1,x_n]$ que és la envoltura convexa del conjunt de raïls.

Demostració

Sobre els número complex, P és un producte de factors primers

$P(z)=\alpha \prod _{i=1}^n(z-a_i)$

a on els número complex $a_1,a_2,\dots ,a_n$ són els zeros – no necessàriament distints – del polinomi $P$, el número complex $\alpha$ és el coeficient principal de $P$ i $n$ és el grau de $P$. Siga $z$ un número complex tal que $P(z)\ne 0$. Llavors es té la derivada logarítmica

$\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}.$

En particular, si $z$ és un zero de $P^{\prime }$ i aixina i tot $P(z)\ne 0$, llavors

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{z-a_i}=0.$

o

$\sum _{i=1}^n\frac{\bar{z}-\overline{a_i}}{|z-a_i{|}^2}=0.$

Açò també es pot expressar com

$\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\right)\bar{z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{|z-a_i{|}^2}\overline{a_i}.$

Prenent els seus conjugats, es pot observar que z és una suma ponderada en coeficients positius que sumen un, o el baricentre, dels número complex a_i (a cada u dels quals se li assigna una massa distinta).

Si P(z) = P'(z) = 0, llavors z = 1·z + 0·a_i, i seguix sent una combinació convexa de les raïls de P.

Vore també

• Teorema de Laguerre