Teorema de De Branges

En anàlisis complex, la teorema de De Branges (que va permetre provar la conjectura de Bieberbach), és una teorema que dona un condició necessària d'una funció holomorfa per a que assigne el disc unitat obert del pla complex inyectivamente al pla complex. La conjectura va ser plantejada per Ludwig Bieberbach, sent finalment provada per Louis de Branges de Bourcia.

La declaració es referix als coeficients de la série de Taylor a_n d'una funció univalente, és dir, una funció holomórfica un a un que aplica el disc unitari en el pla complex, normalisat com sempre és possible de modo que a₀ = 0 i a₁ = 1. És dir, es considera una funció definida en el disc unitat obert que és holomórfica i inyectiva (univalente) en la série de Taylor de la forma

$f(z)=z+\sum _{n\ge 2}{a}_n{z}^n.$

Estes funcions es denominen schlicht (en alemà, simple o pla). La teorema després establix que

$|a_n|\le n\text{para todo }n\ge 2.$

La funció de Koebe (vore més avall) és una funció en la que a_n = n per a tot n, i és schlicht, per lo que no es pot trobar un llímit més estricte en el valor absolut del coeficient n.

Funcions schlicht

Les normalisació

a₀ = 0 i a₁ = 1

signifiquen que

f(0) = 0 i f'(0) = 1.

Açò sempre es pot obtindre per mig d'una transformació afí: començant en una funció holomórfica inyectiva arbitrària g definida en el disc de l'unitat oberta i configurant

$f(z)=\frac{g(z)-g(0)}{g^{\prime }(0)}.$

Estes funciones g són d'interés perque apareixen en el teorema de representació conforme de Riemann.

Una funció schlicht es definix com una funció analítica f que és un a un (biyectiva) i satisfà que f(0) = 0 i f'(0) = 1. Una família de funcions schlicht són les funcions de Koebe rotadas

$f_{\alpha }(z)=\frac{z}{(1-\alpha z{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\alpha }^{n-1}{z}^n$

en α un número complejo de valor absolut 1. Si f és una funció schlicht i |a_n| = n per a alguns n ≥ 2, llavors f és una funció de Koebe rotada.

La condició de la teorema de De Branges no és suficient per a demostrar que la funció és schlicht, ya que la funció

$f(z)=z+z^2=(z+1/2{)}^2-1/4$

es demostra que: és holomórfica en el disc unitat i satisfà |a_n| ≤ n per a tots els n, pero no és inyectivo des de f(−1/2 + z) = f(−1/2 − z).

Història

Koepf (2007) oferix un resum de l'història.Bieberbach (1916) va provar que |a₂| ≤ 2, i va plantejar la conjectura de que |a_n| ≤ n.Loewner (1917) i Nevanlinna (1921) varen provar independentment la conjectura del funcions en forma d'estrela.

Llavors Charles Loewner (Löwner (1923)) va demostrar que |a₃| ≤ 3, utilisant l'equació de Löwner. El seu treball va ser utilisat per la majoria dels intents posteriors i també es va aplicar en la teoria d'evolució de Schramm-Loewner.Littlewood (1925, theorem 20) va demostrar que |a_n| ≤ en para tot n, demostrant que la conjectura de Bieberbach és certa fins a un factor de i = 2.718 ... Varis autors després varen reduir la constant en la desigualtat per baix de i.

Si f(z) = z + ... és una funció schlicht, llavors φ(z) = f(z²)^1/2 és una funció schlicht impar.

Raymond Paley i John Edensor Littlewood varen demostrar que els seus coeficients de Taylor satisfan b_k ≤ 14 per a tot k. Conjeturaron que 14 es pot reemplaçar per 1 com una generalisació natural de la conjectura de Bieberbach. La conjectura de Littlewood-Paley implica fàcilment la conjectura de Bieberbach usant la desigualtat de Cauchy, pero pronte va ser refutada per Fekete y Szegö (1933), qui va mostrar que hi ha una funció schlicht impar en b₅ = 1/2 + exp(−2/3) = 1.013 ..., i que este és el valor màxim possible de b₅. Isaak Milin va demostrar més vesprada que 14 es pot reemplaçar per 1,14, i Hayman va demostrar que els números b_k tenen un llímit menor que 1 si f no és una funció de Koebe (per a la que les b_2k+1 són totes 1). Per lo tant, el llímit és sempre menor o igual a 1, lo que significa que la conjectura de Littlewood i Paley és certa para tots menys un número finito de coeficients.Robertson (1936) va trobar una forma més dèbil de la conjectura de Littlewood i Paley.

La conjectura de Robertson establix que si

$\varphi (z)=b_{1}z+b_3{z}^3+b_5{z}^5+\cdots$

és una funció schlicht impar en el disc unitari en b₁ = 1 llavors per a tots els sancers positius n,

$\sum _{k=1}^n|b_{2k+1}{|}^2\le n.$

Robertson va observar que la seua conjectura encara és lo suficientment forta com per a implicar la conjectura de Bieberbach, i la va demostrar per a n = 3. Esta conjectura va introduir l'idea clau de delimitar vàries funcions quadràtiques dels coeficients en lloc dels coeficients en sí, que és equivalent a normes de delimitació d'elements en certs espais de Hilbert de funcions schlicht.

Va haver vàries proves de la conjectura de Bieberbach per a certs valors més alts de n , en particular Garabedian y Schiffer (1955) provat | a₄ | ≤ 4,Ozawa (1969) i Pederson (1968) provats | a₆ | ≤ 6, i Pederson y Schiffer (1972) va demostrar | a₅ | ≤ 5.Hayman (1955) va demostrar que el llímit de a_n / n existix i té un valor absolut menor que 1 a menos que f siga una funció de Koebe. En particular, açò va mostrar que per a qualsevol "f" pot haver com a màxim un número finito d'excepcions a la conjectura de Bieberbach.

La 'conjectura de Milin' establix que per a cada funció de schlicht en el disc unitari, i per a tots els sancers positius n ,

$\sum _{k=1}^n(n-k+1)(k|{\gamma }_k{|}^2-1/k)\le 0$

a on els 'coeficients logarítmics' γ_n de f estan donats per

$\log (f(z)/z)=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\gamma }_n{z}^n.$

Milin (1977) va mostrar usant el Lebedev-Milin inequality que la conjectura de Milin (després provada per De Branges) implica la conjectura de Robertson i per lo tant la conjectura de Bieberbach.

Finalment De Branges (1985) va demostrar | a_n |≤ n per a tots els n .

Vore també

• Matriu de Grunsky

Bibliografia

• (1976).«Positive Jacobi polynomial sums. II».American Journal of Mathematics.98(3)

709–737.ISSN 0002-9327.doi:10.2307/2373813.

• (1986).«The Bieberbach conjecture».American Mathematical Society.Providence, R.I.:21

xvi+218.doi:10.1090/surv/021.

• (1916).«Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung dones Einheitskreises vermitteln».Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl..

940–955.

• (1995).«Functions of One Complex Variable II».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:

• (1985).«A proof of the Bieberbach conjecture».Acta Mathematica.154(1)

137–152.doi:10.1007/BF02392821.

• (1987).«Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986)».American Mathematical Society.Providence, R.I.:

25–42.

• (1986).«The Bieberbach conjecture».Proceedings of the symposium on the occasion of the proof of the Bieberbach conjecture held at Purdue University, West Lafayette, Ind., March 11—14, 1985.American Mathematical Society.21

xvi+218.doi:10.1090/surv/021.

• (1933).«Eine Bemerkung Über Ungerade Schlichte Funktionen».J. London Math. Soc..s1-8(2)

85–89.doi:10.1112/jlms/s1-8.2.85.

• (1985).«The de Branges theorem on univalent functions».Trans. Amer. Math. Soc..290(2)doi:10.2307/2000306.
• Plantilla:Springer
• (1999).«The Bieberbach conjecture and Milin's functionals».The American Mathematical Monthly.106(3)

203–214.doi:10.2307/2589676.

• (2002).«Geometric Function Theory».North-Holland.Volume 1

273–332.doi:10.1016/S1874-5709(02)80012-9..

• (1955).«The asymptotic behaviour of p-valent functions».Proceedings of the London Mathematical Society.5(3)

257–284.doi:10.1112/plms/s3-5.3.257.

• (1994).«Multivalent functions».Cambridge University Press.110
• Koepf, Wolfram (2007), La conjectura de Bieberbach, les de Branges i funcions de Weinstein i la desigualtat de Askey-Gasper
• (1986).«Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges».The American Mathematical Monthly.93(7)

505–514.ISSN 0002-9890.doi:10.2307/2323021.Consultat el 19 de maig de 2021.

• (1925).«On Inequalities in the Theory of Functions».Proc. London Math. Soc..s2-23

481–519.doi:10.1112/plms/s2-23.1.481.

• (1932).«A Proof That An Odd Schlicht Function Has Bounded Coefficients».J. London Math. Soc..s1-7(3)

167–169.doi:10.1112/jlms/s1-7.3.167.

• (1917).«Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen dones Einheitskreises /z/ < 1, die durch Funktionen mit nicht verschwindender Ableitung geliefert werden».Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig.69

89–106.

• (1923).«Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen dones Einheitskreises. I».Math. Ann..89

103–121.doi:10.1007/BF01448091.

• (1977).«Univalent functions and orthonormal systems».American Mathematical Society.Providence, R.I.: (Traducció de l'edició russa de 1971)
• (1921).«Über die konforme Abbildung von Sterngebieten».Ofvers. Finska Vet. Soc. Forh..53

1–21.

• (1936).«A remark on the odd schlicht functions».Bulletin of the American Mathematical Society.42(6)

366–370.doi:10.1090/S0002-9904-1936-06300-7.