Teorema de Beckman-Quarles

En geometria, la teorema de Beckman–Quarles establix que si una transformació del pla euclídeo o d'un espai euclídeo de dimensió superior preserva les distàncies unitàries, llavors preserva totes les distàncies euclídeas. Equivalentemente, tot homomorfisme des del grafo de distància unitària del pla cap a sí mateixa deu ser una isometría del pla. La teorema du el nom de Frank S. Beckman i Donald A. Quarles Jr., els qui varen publicar este resultat en 1953; posteriorment va ser redescubierto per atres autors i demostrat de múltiples maneres. També es coneixen teoremes anàlogues per a subconjunts racionals d'espais euclídeos o per a la geometria no euclídea.

Enunciat i idea de la demostració

Formalment, el resultat és el següent. Siga una funció o funció multivaluada d'un espai euclídeo de dimensió cap a sí mateixa, i supongam que, per a cada parell de punts i que estan a una distància unitària entre sí, cada parell d'imàgens i també estan a una distància unitària entre sí. Llavors, deu ser una isometría: és una funció inyectiva que preserva les distàncies entre tots els parells de punts.

Una forma de reformular la teorema de Beckman–Quarles implica homomorfismes de grafos, que són aplicacions entre grafos no dirigits que duen vèrtiços a vèrtiços i arestes a arestes. Per al grafo de distància unitària els vèrtiços de la qual són tots els punts del pla, en una aresta entre dos punts qualssevol a distància unitària, un homomorfisme d'este grafo cap a sí mateixa és lo mateix que una transformació del pla que preserva les distàncies unitàries. Aixina, la teorema de Beckman–Quarles establix que els únics homomorfismes d'este grafo cap a sí mateixa són els que provenen d'isometría del pla. Per a este grafo, tots els homomorfismes són simetria del grafo, la propietat definitoria d'una classe de grafos cridada núcleus.

Ademés de les demostracions originals de Beckman i Quarles de la teorema, i les demostracions en artículs posteriors que redescubrieron el resultat, s'han publicat vàries demostracions alternatives. Si és el conjunt de distàncies preservades per una aplicació , llavors, per la desigualtat triangular, certes comparacions d'atres distàncies en membres de sò preservades per . Per lo tant, si es pot demostrar que és un conjunt dens, llavors totes les distàncies deuen ser preservades. L'idea principal de vàries demostracions de la teorema de Beckman–Quarles és usar la rigidea estructural de certs grafos de distància unitària, com el grafo d'un símplex regular, per a mostrar que una aplicació que preserva les distàncies unitàries deu preservar suficients atres distàncies per a formar un conjunt dens.

Contraeixemples en atres espais

Beckman i Quarles observen que la teorema no és cert per a la recta real (espai euclídeo unidimensional). Com a eixemple, considerem la funció que torna si és un número entero i torna en cas contrari. Esta funció complix en les condicions prèvies de la teorema: preserva les distàncies unitàries. No obstant, no preserva les distàncies entre sancers i no sancers.

Beckman i Quarles proporcionen un atre contraeixemple que mostra que la seua teorema no pot generalisar-se a un espai de dimensió infinita, l'espai de Hilbert de seqüències sumables al quadrat de número real. «Sumable al quadrat» significa que la suma dels quadrats dels valors en una seqüència d'este espai deu ser finita. La distància entre dos seqüències qualssevol pot definir-se de la mateixa manera que la distància euclídea per a espais de dimensió finita, sumant els quadrats de les diferències de coordenades i després prenent la raïl quadrada. Per a construir una funció que preserva les distàncies unitàries pero no atres distàncies, Beckman i Quarles componen dos funcions discontínues:

La primera funció mapea cada punt de l'espai de Hilbert a un punt propenc en un subespacio dens numerable. Per eixemple, el subespacio dens podria elegir-se com el subespacio de seqüències de número racional. Sempre que esta transformació moga cada punt una distància menor que , mapeará punts a distància unitària entre sí a imàgens distintes.

La segona funció mapea este conjunt dens a un símplex unitari numerable, un conjunt infinit de punts tots a distància unitària entre sí. Un eixemple d'un símplex numerable en este espai consistix en les seqüències d'número real que prenen el valor en una sola posició i són zero en totes les demés. Hi ha infinites seqüències d'esta forma, i la distància entre dos seqüències qualssevol d'este tipo és un. Esta segona funció deu ser inyectiva pero, per lo demés, pot elegir-se arbitrariament.

Quan estes dos transformacions es combinen, mapean qualsevol parell de punts a distància unitària entre sí a dos punts diferents en el subespacio dens, i d'allí els mapean a dos punts diferents del símplex, que necessàriament estan a distància unitària. Per lo tant, la seua composició preserva les distàncies unitàries. No obstant, no és una isometría, perque mapea cada parell de punts, sense importar la seua distància original, ya siga al mateix punt o a una distància unitària.