Suma de Gauss

En matemàtiques, una suma de Gauss o suma gaussiana és un tipo particular de suma finita de raïls de l'unitat, usualment

$G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)$

a on la suma és sobre els elements r d'algun anell conmutativo finito R, ψ(r) és un homomorfisme de grups del grup aditiu R⁺ sobre el círcul unitari, i χ(r) és un homomorfisme de grup del grup unitari R^× dins del círcul, estés a r no unitari, a on este pren el valor de 0. Les sumes gaussianas són els anàlecs per a cossos finitos de la funció gamma.

Tals sumes estan molt presents en teoria de números. Estes s'utilisen, per eixemple, en les equacions funcionals de les funcions L de Dirichlet, a on per a un caràcter de Dirichlet χ l'equació que relaciona L(s, χ) i L(1 − s, χ*) implica al factor

$\frac{G(\chi )}{|G(\chi )|},$

a on χ* és el complex conjugat de χ.

Història

El cas original que va ser estudiat per Carl Friedrich Gauss va ser el de les suma quadràtica gaussiana, sent R el cos dels residus mòdul un número primo p, i χ el símbol de Legendre. En este cas Gauss va demostrar que G(χ) = p^1/2 o ip^1/2 respectivament si p és congruent en 1 o 3 mòdul 4.

Una forma alternativa per a esta suma gaussiana és:

$\sum e^{\frac{2\pi i{r}^2}{p}}$

Les sumes quadràtiques gaussianas estan íntimament relacionades en la teoria de les funcions theta.

La teoria general de les sumes gaussianas va ser desenrollada a principis de el XIX, en l'us de sumixques de Jacobi i la seua descomposició en factors primers sobre cossos ciclotòmics. Les sumes de conjunts a on χ pren un valor particular, a on l'anell subjacent és l'anell de residus mòdul un número entero N, són descrites per la teoria de periodos gaussianos.

El valor absolut de les sumes gaussianas és usualment determinat com una aplicació del teorema de Plancherel sobre cossos finitos. En el cas a on R és un cos de p elements i χ és no trivial, el valor absolut és p^1/2. La determinació del valor exacte de les sumes de Gauss generalisades, del com s'obté el resultat de Gauss per al cas quadràtic, és un problema de llarga discussió. Per a alguns casos es pot utilisar sumixques de Kummer.

Vore també

• Teorema de Stickelberger
• Relació de Hasse-Davenport
• Teorema de Chowla-Mordell

Referències

• Ireland and Rosen (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X.
• B. C. Berndt, R. J. Evans, K. S. Williams (1998). Gauss and Jacobi Sums, Wiley. ISBN 0-471-12807-4.