Relació giromagnética

Plantilla:Revisar traducció En física, la relació giromagnética (també a voltes cridada relació magnetogírica) d'una partícula o sistema és la proporció del moment magnètic entre el moment angular, i és a sovint denotada pel símbol γ, gamma. La seua unitat en el SI és el radián per segon per tesla (rad⋅s⁻¹⋅T⁻¹) o, equivalentement, el coulomb per quilogram (C⋅kg⁻¹).

El terme "relació giromagnética" és a sovint utilisada com a sinònim per a una cantitat diferent pero estretament relacionada, el factor-g. El factor-g, a diferència de la relació giromagnética, és adimensional.

Relació giromagnética i precesión de Larmor

Qualsevol sistema lliure en una relació giromagnética constant, tals com un sistema rígit de càrregues, un núcleu o un electró, quan es coloca en un camp magnètic extern $B$ (medit en tesles) que no està alineat en el moment magnètic del sistema, precesará en una freqüència $f$ (medit en hercios), que és proporcional al camp extern:

$f=\frac{\gamma }{2\pi }B.$

Per esta raó s'usen valors de γ/(2π), en unitats d'hercios per tesla (Hz/T), en lloc de γ.

Deducció

Primer devem provar que el torque ($\overrightarrow{T}$) que resulta en sometre un moment magnètic $\overrightarrow{m}$ a un camp magnètic extern $\overrightarrow{B}$ és:

$\overrightarrow{\mathrm{T}}=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}$

La definició de la magnitut del moment dipolar magnètic ($m$) en un camp extern estàtic és:

$m=I\pi r^2$

A on $I$ és la corrent elèctrica mida en amperes (A) i $\pi r^2$ és l'àrea de gir. Esta equació nos diu que una càrrega elèctrica, per eixemple un electró, rotando o movent-se en círcul genera un moment magnètic dipolar que depén de l'intensitat de la corrent i del tamany del círcul. A major corrent o major àrea, major serà el moment dipolar magnètic.

També es pot calcular en el moment p d'un dipol elèctric:

$q_m\cdot \overrightarrow{l}=I\pi r^2=\overrightarrow{m},$

El dipol magnètic pot representar-se com l'agulla d'una brúixola en càrregues magnètiques fictícies $\pm q_m$ en cada pol i un vector distancia entre els pols ($\overrightarrow{l}$) baixe el camp magnètic de la Terra $\overrightarrow{B}$. Segons la mecànica clàssica, el torque sobre esta agulla és:

$\overrightarrow{\mathrm{T}}=\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}\cdot q_m=q_m\cdot \overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}.$

Pero, com es va indicar anteriorment:

$q_m\cdot \overrightarrow{l}=\overrightarrow{m},$

i d'ahí sorgix la fòrmula desijada.

El model de l'electró girant que usem en la deducció anterior és anàlec a un giroscopi. Per a tot cos en rotació, la taxa de canvi del moment angular $\frac{d\overrightarrow{J}}{dt}$ és igual al torque $\overrightarrow{T}$ aplicat:

$\frac{d\overrightarrow{J}}{dt}=\overrightarrow{T}.$

Archiu:Torque animation.gif

Eixemple d'un moviment de torque.

Prengam com a eixemple la precesión d'un giroscopi. L'atracció gravitacional de la Terra eixercix un torque sobre el giroscopi (direcció vertical), i el vector moment angular, situat a lo llarc de l'eix del giroscopi, trencada llentament al voltant d'una llínea vertical a través del punt de gir. En lloc del giroscopi, imagina una esfera girant al voltant de l'eix i en el seu centre en el punt de gir del giroscopi, i a lo llarc de l'eix del giroscopi dos vectores de direccions opostes, els dos en el seu orige en el centre de l'esfera, $\overrightarrow{J}$ cap a dalt i $\overrightarrow{m}$ cap a avall. Substituïm ara la gravetat per una inducció magnètica B.

$\frac{d\overrightarrow{J}}{dt}$ representa la velocitat llineal de la punta de la flecha $\overrightarrow{J}$ a lo llarc d'un círcul el radi del qual val $J\cdot \sin \varphi$, a on $\varphi$ és l'àngul entre $\overrightarrow{J}$ i la vertical. Per tant, la velocitat angular de la rotació de l'espin és $\omega =2\pi f=\frac{|d\overrightarrow{J}|}{dt\cdot J\cdot \sin \varphi }=\frac{|\overrightarrow{T}|}{J\cdot \sin \varphi }=\frac{|\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}|}{J\cdot \sin \varphi }=\frac{mB\sin \varphi }{J\cdot \sin \varphi }=\frac{mB}{J}=\gamma B.$

Per tant, $f=\frac{\gamma }{2\pi }Bq.e.d.$

Ademés, esta relació explica l'aparent contradicció entre el fet de que els térmens relació giromagnética i relació magnetogírica siguen equivalents: ademés de ser una proporció entre una propietat magnètica (és dir, el moment dipolar) i una propietat giratòria (és dir, el moment angular), també és al mateix temps una proporció entre la freqüència angular de precesión (una atra propietat giratòria), ω = 2πf, i el camp magnètic.

La freqüència angular de precesión té un significat físic important: És la freqüència angular del ciclotrón; la freqüència de resonància d'un plasma ionizado que està baix l'influència d'un camp magnètic estàtic finito, quan sobreponem un camp electromagnètic d'alta freqüència.

Per a un cos rotando de forma clàssica

Considere's un cos carregat rotando al voltant d'un eix de simetria. Segons les lleis de la física clàssica, té un moment magnètic dipolar i un moment angular per la seua rotació. Es pot demostrar que, sempre i quan la seua càrrega i la seua massa estean distribuïdes de forma idèntica (per eixemple, les dos distribuïdes de forma uniforme), la seua relació giromagnética serà

$\gamma =\frac{q}{2m}$

a on q és la seua càrrega i m és la seua massa. Esta relació es deduïx de la següent forma:

És suficient demostrar-ho per a un anell circular infinitesimalmente estret en l'interior del cos, ya que el resultat general s'obté al integrar. Supongam que l'anell té un radi r, un àrea A = πr², una massa m, una carrega q, i un moment angular L = mvr. Llavors la magnitut del moment magnètic dipolar val

$\mu =IA=\frac{qv}{2\pi r}\times \pi r^2=\frac{q}{2m}\times mvr=\frac{q}{2m}L.$

Vore també

• Relació massa carrega
• Desplaçament químic
• Equació de Dirac
• Factor-g de Landé
• Precesión de Larmor

Bibliografia

• Marc Knecht, The Anomalous Magnetic Moments of the Electron and the Muon, Poincaré Seminar (Paris, Oct. 12, 2002), published in : Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (Eds.); Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), ISBN 3-7643-0579-7.