Propietat d'aproximació

Archiu:MazurGes.jpg

La construcció d'un espai de Banach sense la propietat d'aproximació li va valdre a Per Enflo ser premiat en 1972 en una oca viva, que havia promés Stanisław Mazur (esquerra) en 1936.

En matemàtiques, específicament en anàlisis funcional, es diu que un espai de Banach té la propietat d'aproximació (PA), si cada operador compacte és un llímit d'un operador de ranc finito. Ho contrarie sempre és cert.

Cada espai de Hilbert té esta propietat. No obstant, hi ha espais de Banach que no ho fan, i Per Enflo va publicar el primer contraeixemple en un artícul de 1973, encara que seria Alexander Grothendieck (1955) qui realisara numerosos treballs en esta àrea.

Posteriorment es varen trobar molts atres contraeixemples. L'espai dels operadors llineals acotats en ${\ell }^2$ no té la propietat d'aproximació. Els espais ${\ell }^p$ per a $p\ne 2$ i $c_0$ (vore espai seqüencial) tenen subespacios tancats que no tenen la propietat d'aproximació.

Definició

Es diu que un espai vectorial topològic X localment convexo té la propietat d'aproximació, si l'aplicació identitat pot aproximar-se, uniformemente en conjunts precompactos, per mig d'aplicacions llineals contínues de ranc finito.

Per a un espai localment convexo X, les següents proposicions són equivalents:

1. X té la propietat d'aproximació.
2. El tancament de $X^{\prime }\otimes X$ en ${\mathrm{L}}_p(X,X)$ conté l'aplicació d'identitat. $\mathrm{Id}:X\to X$.
3. $X^{\prime }\otimes X$ és dens en ${\mathrm{L}}_p(X,X)$.
4. Per a cada espai localment convexo I, $X^{\prime }\otimes Y$ és dens en ${\mathrm{L}}_p(X,Y)$.
5. Per a cada espai localment convexo I, $Y^{\prime }\otimes X$ és dens en ${\mathrm{L}}_p(Y,X)$.

En estes sentències, ${\mathrm{L}}_p(X,Y)$ denota l'espai d'operadors llineals continus de X a I dotats de la topología de convergència uniforme en subconjunts precompactos de X.

Si X és un espai de Banach, este requisit passa a ser que per a cada espai compacte $K\subset X$ i cada $\epsilon >0$, hi ha un operador $T:X\to X$ de ranc finito, de modo que $\Vert Tx-x\Vert \le \epsilon$, per a cada $x\in K$.

Definicions relacionades

S'estudien algunes atres variants de el AP:

Siga $X$ un espai de Banach i siga $1\le \lambda <\mathrm{\infty }$. Es diu que X té la propietat d'aproximació $\lambda$ ($\lambda$-AP), si, per a cada conjunt compacte $K\subset X$ i cada $\epsilon >0$, existix un operador $T:X\to X$ de ranc finito, pel que eixe $\Vert Tx-x\Vert \le \epsilon$, per cada $x\in K$, i $\Vert T\Vert \le \lambda$.

Es diu que un espai de Banach té la propietat d'aproximació acotada (PAB), si té $\lambda$-AP per a algun $\lambda$.

Es diu que un espai de Banach té la propietat d'aproximació mètrica (PAM), si és 1-PA.

Es diu que un espai de Banach té la propietat d'aproximació compacta (PAC), si en la definició de la PA, es reemplaça un operador de ranc finito per un operador compacte.

Bibliografia

• “{{{title}}}” . Mathematical Reviews.

• Enflo, P.: A counterexample to the approximation property in Banach spaces. Acta Math. 130, 309–317(1973).
• Grothendieck, A.: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Memo. Amer. Math. Soc. 16 (1955).
• “{{{title}}}” . American Mathematical Monthly 85 (4): 256–257. doi:10.2307/2321165.
• “{{{title}}}” . Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk. 16 (49): 134–138.
• Pietsch, Albrecht (2007). History of Banach spaces and linear operators, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., pp. xxiv+855 pp.. ISBN 978-0-8176-4367-6.
• Paul R. Halmos, "Has progress in mathematics slowed down?" Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 7, 561—588. Plantilla:MR
• William B. Johnson "Complementably universal separable Banach spaces" in Robert G. Bartle (ed.), 1980 Studies in functional analysis, Mathematical Association of America.
• Kwapień, S. "On Enflo's example of a Banach space without the approximation property". Séminaire Goulaouic–Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyse fonctionnelle, Exp. No. 8, 9 pp. Centre de Math., École Polytech., Paris, 1973. Plantilla:MR
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I, Sequence spaces, 1977.
• Karen Saxe, Beginning Functional Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, 2002 Springer-Verlag, New York.
• (1999) Topological Vector Spaces, New York: Springer-Verlag. ISBN 9780387987262.
• Singer, Ivan. Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981. viii+880 pp. ISBN 3-540-10394-5. Plantilla:MR