Prolongació per continuïtat

En anàlisis matemàtic, la prolongació per continuïtat d'una funció és una extensió de la seua domini de definició per punts veïns, en els quals els valors estan definits per llímits finitos de la funció. La nova funció aixina definida se senyala convencionalment en la mateixa lletra sola (per abús de notació ) o superada per una tilde .

En este sentit, una funció es pot prolongar per continuïtat en un punt fòra del seu domini de definició si admet un llímit finito en eixe punt. Per a una funció real de variable real, esta propietat assegura especialment la seua integrabilidad en este punt.

Per eixemple, la funció sen cardinal, denotada sinc, és la prolongació per continuïtat de la funció $f$ definida en ${ℝ}^{*}$ per

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*},f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ .

fixant

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{sinc}(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)=\frac{\sin (x)}{x}& \text{si }x\ne 0\\ 1& \text{si }x=0\end{array}$

La funció sinc aixina definida és de fet contínua en 0 degut a que

$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}\underset{x\to 0,x\ne 0}{⟶}1=\mathrm{sinc}(0).$

En atres paraules, prolonguem $f$ per continuïtat en 0 pel valor 1.

Qualsevol funció contínua de Cauchy en valors reals o complexos (o, més generalment, en qualsevol espai complet ) es pot estendre de manera contínua a l'adherencia del seu domini de definició. Esta propietat permet, entre atres coses, justificar l'existència de certes curves fractales.