Problema de Lambert

En mecànica celest, el problema de Lambert es referix a la determinació d'una òrbita a partir de dos vectores de posició i el lapsus de viage entre abdós. Va ser plantejat en el XVIII pel matemàtic alemà Johann Heinrich Lambert i resolt formalment en demostració matemàtica per Joseph-Louis Lagrange. Té aplicacions importants en les àrees de la trobada, apuntat, orientació i determinació preliminar d'òrbites de naus espacials.^[1]

Suponga's que s'observa que un cos baix l'influència d'una força gravitacional central, que viaja des d'un punt P1 seguint una trayectòria cònica a un punt P2 en un temps T. La duració del vol està relacionada en atres variables per la teorema de Lambert, que diu:

El temps de translació d'un cos que es mou entre dos punts en una trayectòria cònica és solament funció de la suma de les distàncies dels dos punts a l'orige de la força, la distància llineal entre els punts, i el semieix major de la cònica.^[2]

Dit d'una atra manera, el problema de Lambert és el problema de condició de frontera per a l'equació diferencial

\ddot{\bar{r}} = - μ \cdot \frac{\hat{r}}{r^{2}}

del problema dels dos cossos quan la massa d'un dels cossos és infinitesimal; este subconjunt del problema dels dos cossos és conegut com òrbita de Kepler.

La formulació precisa del problema de Lambert és la següent:

Daus dos temps diferents $t_{1}, t_{2}$ i dos vectores de posició ${\bar{r}}_{1} = r_{1} {\hat{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2} = r_{2} {\hat{r}}_{2}$ ,

trobe's la solució $\bar{r} (t)$ que satisfà l'equació diferencial per la que

\bar{r} (t_{1}) = {\bar{r}}_{1}

\bar{r} (t_{2}) = {\bar{r}}_{2} .

Anàlisis geomètric inicial

Els tres punts

F_{1}

, el centre d'atracció,

P_{1}

, el punt que correspon al vector

{\bar{r}}_{1}

P_{2}

, el punt que correspon al vector

{\bar{r}}_{2}

formen un triàngul en el pla definit pels vectores ${\bar{r}}_{1}$ i ${\bar{r}}_{2}$ com es mostra en la figura 1. La distància entre els punts $P_{1}$ i $P_{2}$ és $2 d$ , la distància entre els punts $P_{1}$ i $F_{1}$ és $r_{1} = r_{m} - A$ i la distància entre els punts $P_{2}$ i $F_{1}$ és $r_{2} = r_{m} + A$ . El valor de $A$ és positiu o negatiu depenent de quin dels punts $P_{1}$ i $P_{2}$ està més alluntat del punt $F_{1}$ . El problema geomètric a solucionar consistix en trobar totes les elipses que passen pels punts $P_{1}$ i $P_{2}$ i tenen un foc en el punt $F_{1}$ .

Els punts $F_{1}$ , $P_{1}$ i $P_{2}$ definixen una hipérbola que passa pel punt $F_{1}$ en foc en els punts $P_{1}$ i $P_{2}$ . El punt $F_{1}$ està en la branca esquerra o dreta de l'hipérbola depenent del signe de $A$ . El semieix major d'esta hipérbola és $| A |$ i l'excentricitat $E$ és $\frac{d}{| A |}$ . Esta hipérbola està ilustrada en la figura 2.

La seua equació relativa al sistema de coordenada canònic habitual definit pels eixos major i menor de l'hipérbola és

\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1 (1)

en

B = | A | \sqrt{E^{2} - 1} = \sqrt{d^{2} - A^{2}} (2)

Per a qualsevol punt en la mateixa branca de l'hipérbola, com $F_{1}$ , la diferència entre les distàncies $r_{2}$ al punt $P_{2}$ i $r_{1}$ al punt $P_{1}$ és

$r_{2} - r_{1} = 2 A (3)$

Per a qualsevol punt $F_{2}$ en l'atra branca de l'hipérbola, la relació corresponent és

$s_{1} - s_{2} = 2 A (4)$

és dir

r_{1} + s_{1} = r_{2} + s_{2} (5)

Pero açò significa que els punts $P_{1}$ i $P_{2}$ es troben abdós en la elipse que té els punts focals $F_{1}$ i $F_{2}$ i el semieix major

a = \frac{r_{1} + s_{1}}{2} = \frac{r_{2} + s_{2}}{2} (6)

La elipse corresponent a un punt $F_{2}$ seleccionat arbitrariamente és mostrada en la figura 3.

Solució per a una òrbita de transferència elíptica suposta

Primer cal separar els casos segons el pol orbital estiga en la direcció ${\bar{r}}_{1} \times {\bar{r}}_{2}$ o en la direcció $- {\bar{r}}_{1} \times {\bar{r}}_{2}$ . En el primer cas l'àngul de transferència $α$ per al primer pas a través de ${\bar{r}}_{2}$ serà en l'interval $0 < α < 18 0^{\circ}$ i en el segon cas serà en l'interval $18 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}$ . A partir d'ahí $\bar{r} (t)$ continuarà passant a través de ${\bar{r}}_{2}$ en cada revolució orbital.

En el cas de que ${\bar{r}}_{1} \times {\bar{r}}_{2}$ siga zero, llavors ${\bar{r}}_{1}$ i ${\bar{r}}_{2}$ estan situats en direccions opostes, tots els plans orbitales que contenen la llínea corresponent són igualment adequats i l'àngul de transferència $α$ per al primer pas per ${\bar{r}}_{2}$ serà $18 0^{\circ}$ .

Per a qualsevol $α$ en $0 < α < \infty$ el triàngul format per $P_{1}$ , $P_{2}$ i $F_{1}$ és com en la figura 1, en

d = \frac{\sqrt{{r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos α}}{2} (7)

I el semieix major (en signe) de l'hipérbola discutida anteriorment és

A = \frac{r_{2} - r_{1}}{2} (8)

L'excentricitat (en signe) per a l'hipérbola és

E = \frac{d}{A} (9)

I el semieix menor és

B = | A | \sqrt{E^{2} - 1} = \sqrt{d^{2} - A^{2}} (10)

Les coordenades del punt $F_{1}$ relatives al sistema de coordenades canònic per a l'hipérbola és (tenint en conte que $E$ té el signe de $r_{2} - r_{1}$ )

x_{0} = - \frac{r_{m}}{E} (11)

y_{0} = B \sqrt{{(\frac{x_{0}}{A})}^{2} - 1} (12)

a on

r_{m} = \frac{r_{2} + r_{1}}{2} (13)

Utilisant la coordenada i del punt $F_{2}$ en l'atra branca de l'hipérbola com a paràmetro lliure, la coordenada x de $F_{2}$ és (note's que $A$ té el signe de $r_{2} - r_{1}$ )

x = A \sqrt{1 + {(\frac{y}{B})}^{2}} (14)

El semieix major de la elipse que passa pels punts $P_{1}$ i $P_{2}$ tenint com a focs $F_{1}$ i $F_{2}$ és

a = \frac{r_{1} + s_{1}}{2} = \frac{r_{2} + s_{2}}{2} = \frac{r_{m} + E x}{2} (15)

La distància entre els focs és

\sqrt{{(x_{0} - x)}^{2} + {(y_{0} - y)}^{2}} (16)

I l'excentricitat és, consegüentment

e = \frac{\sqrt{{(x_{0} - x)}^{2} + {(y_{0} - y)}^{2}}}{2 a} (17)

L'anomalia verdadera $θ_{1}$ en el punt $P_{1}$ depén de la direcció de moviment, és dir, si $\sin α$ és positiu o negatiu. En abdós casos es té que

\cos θ_{1} = - \frac{(x_{0} + d) f_{x} + y_{0} f_{y}}{r_{1}} (18)

a on

f_{x} = \frac{x_{0} - x}{\sqrt{{(x_{0} - x)}^{2} + {(y_{0} - y)}^{2}}} (19)

f_{y} = \frac{y_{0} - y}{\sqrt{{(x_{0} - x)}^{2} + {(y_{0} - y)}^{2}}} (20)

és el vector unitat en la direcció de $F_{2}$ a $F_{1}$ expressat en les coordenades canòniques.

Si $\sin α$ és positiu llavors

\sin θ_{1} = \frac{(x_{0} + d) f_{y} - y_{0} f_{x}}{r_{1}} (21)

Si $\sin α$ és negatiu llavors

\sin θ_{1} = - \frac{(x_{0} + d) f_{y} - y_{0} f_{x}}{r_{1}} (22)

En

Semieix major
Excentricitat
Anomalia verdadera inicial

sent funcions conegudes del paràmetro i, l'aument del temps per a l'anomalia verdadera quan creix $α$ sent també una funció coneguda d'i. Si $t_{2} - t_{1}$ està en el ranc que pot ser obtingut en una òrbita elíptica de Kepler el valor corresponent a, i pot ser trobat utilisant un algoritme iterativo.

En el cas especial de que $r_{1} = r_{2}$ (o molt propenc) $A = 0$ i l'hipérbola en dos branques degenera en una única llínea ortogonal a la recta entre $P_{1}$ i $P_{2}$ en l'equació

x = 0 (1^{'})

Les equacions (11) i (12) són llavors reemplaçades per

x_{0} = 0 (11^{'})

y_{0} = \sqrt{{r_{m}}^{2} - d^{2}} (12^{'})

(14) és reemplaçada per

x = 0 (14^{'})

i (15) és reemplaçada per

a = \frac{r_{m} + \sqrt{d^{2} + y^{2}}}{2} (15^{'})

Referències

↑ E. R. Lancaster & R. C. Blanchard, A Unified Form of Lambert's Theorem, Goddard Space Flight Center, 1968
↑ James F. Jordon, The Application of Lambert's Theorem to the Solution of Interplanetary Transfer Problems, Jet Propulsion Laboratory, 1964

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Problema de Lambert» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] E. R. Lancaster & R. C. Blanchard, A Unified Form of Lambert's Theorem, Goddard Space Flight Center, 1968

[2] James F. Jordon, The Application of Lambert's Theorem to the Solution of Interplanetary Transfer Problems, Jet Propulsion Laboratory, 1964

[1]

[2]