Polinomi mínim d'un endomorfisme

En àlgebra llineal, el polinomi mínim ${\mu }_f$ d'un endomorfisme $f$ d'un espai vectorial $E$ sobre un cos $𝔽$ (o $m_A$ d'una matriu $A$ de dimensió $n\times n$ interpretant $A$ com la matriu en certa base de $E$, puix es vorà que el polinomi és independent de l'elecció d'esta base) és el polinomi mónico $p$ sobre $𝔽$ de menor grau tal que $p(f)=0$ (o $p(A)=0$). Qualsevol atre polinomi $q$ en $q(f)=0$ (o $q(A)=0$) és un (polinomi) múltiple de ${\mu }_f$. La demostració de que açò és cert està en l'apartat dedicat a la definició formal.

Característiques

Les següents tres declaracions són equivalents:

1. $\lambda$ és una raïl de ${\mu }_f$,
2. $\lambda$ és una raïl del polinomi característic ${\chi }_f$ de $f$,
3. $\lambda$ és un valor propi de $f$.

La multiplicitat d'una raïl $\lambda$ de ${\mu }_f$ és la potència més gran $m$ de manera que $\ker ((f-\lambda I{)}^m)$ estrictament conté $\ker ((f-\lambda I{)}^{m-1})$. En atres paraules, aumentar l'exponent fins a $m$ donarà núcleus cada volta més grans, pero aumentar encara més l'exponent més allà de $m$ solament donarà el mateix núcleu.

Si el cos $𝔽$ no és algebraicamente tancat, llavors els polinomis mínims i característics no necessiten factorizarse solament d'acort en les seues raïls (en $𝔽$), en atres paraules, poden tindre com a factors polinomis irreducibles de grau major que $1$. Per a polinomis irreducibles $P$ es tenen equivalència similars:

1. $P$ dividix ${\mu }_f$
2. $P$ dividix ${\chi }_f$
3. El núcleu de $P(f)$ té dimensió a lo manco $1$
4. El núcleu de $P(f)$ té dimensió a lo manco $\mathrm{gr}(P)$

De la mateixa manera que el polinomi característic, el polinomi mínim no depén del cos base, és dir, considerar la matriu com una en coeficients en un cos major no canvia el polinomi mínim. La raó és alguna cosa diferent a la del polinomi característic (a on és immediat de la definició de determinants), és dir, el fet de que el polinomi mínim està determinat per les relacions de dependència i independència llineal entre les potències de $f$: estendre el cos base no introduirà cap nova relació d'este tipo (ni, per supost, eliminarà les existents).

El polinomi mínim sol ser el mateix que el polinomi característic, pero no sempre. Per eixemple, si $f$ és un $aI$ múltiple de l'endomorfisme identitat, llavors el seu polinomi mínim és $x-a$ ya que el núcleu de $aI-f=0$ ya és l'espai complet; per un atre costat el seu polinomi característic és $(x-a{)}^n$ (l'únic valor propi és $a$, i el grau del polinomi característic és sempre igual a la dimensió de l'espai). El polinomi mínim sempre dividix el polinomi característic, que és una forma de formular el teorema de Cayley-Hamilton (per al cas de matrius sobre un cos).

Definició formal

Donat un endomorfisme $f$ en un espai vectorial $E$ de dimensió finita sobre un cos $𝔽$, siga $I_f$ el conjunt definit com

${𝐼}_f=\{p\in 𝔽[t]\mid p(f)=0\}$

a on $𝔽[t]$ és l'espai de tots els polinomis sobre el cos $𝔽$. Si $p\in I_f$, direm que $p$ és anulador de $f$. $I_f$ és un ideal propi de $𝔽[t]$. Ya que $𝔽$ és un cos, $𝔽[t]$ és un domini d'ideals principals, per lo que qualsevol ideal és generat per un sol polinomi, que és únic llevat les unitats en $𝔽$. Es pot fer una elecció particular entre els generadors, ya que precisament un dels generadors és mónico. El polinomi mínim es definix aixina com el polinomi mónico que genera $I_f$. És el polinomi mónico de menor grau en $I_f$.

Sense utilisar térmens de teoria d'anells, podem demostrar que el polinomi mínim està ben definit (és l'únic polinomi mónico anulador de $f$ de grau mínim i el restant de polinomi anuladores són múltiples seus) de la manera següent. La demostració és essencialment la mateixa que l'anterior:

Bibliografia

• Lang, Serge (2002). Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 3ª revisada edició, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4.