Péndola de Kater

Archiu:PenduloCaminos.jpg

Figura 1: Péndola de Kater Universitat Politècnica de Madrit.

La péndola de Kater és un péndola reversible ideat pel capità de l'armada britànica Henry Kater en 1817 com un gravímetro destinat a medir l'acceleració de la gravetat local. La seua ventaja, sobre anteriors métodos gravimétricos de tipo pendular es basa que per a la mida de l'acceleració de la gravetat g, no és necessari determinar ni el centre de gravetat ni el centre d'oscilació de la péndola i, no obstant, permet obtindre ya una adequada precisió per a la mida de g. En este artícul donarem uns resultats per a l'acceleració de la gravetat en Madrit en una Péndola de Kater docent que permet obtindre fins a dos sifres significatives correctes.

Durant poc més d'una centuria, fins a la década de 1930, la péndola de Kater, i les seues successives millores, va constituir el método estàndar per a la mida de l'intensitat del camp gravitatorio en les prospeccions geodèsiques. En l'actualitat és utilisat per a demostracions docents dels principis de la péndola. El seu moviment permet analisar la noció més bàsica d'oscilació tant harmònica com amortiguada o forçada.

La péndola de Kater va sorgir per la necessitat de realisar mides gravimétricas precises que permeteren un bon coneiximent del terreny (molt útil en cartografia, topografia i prospecció minera). Bàsicament consistia en un péndola física o compost. Constava de dos cuchilles enfrontades que servien com a eixos alternatius de suspensió (O i O’) i dos masses desplazables a lo llarc d'una vareta. La principal ventaja d'esta péndola, per a medir la gravetat, comparada en la d'una péndola física de l'época és que no era necessari conéixer prèviament a la seua mida el centre de masses del mateix. Bastava en trobar para quina disposició de les masses desplazables, els periodos d'oscilació en abdós cuchilles (O i O’) s'igualaven aproximadament.

Hui en dia la medició de la gravetat sobre la superfície de la terra es realisa per mig d'accelerómetros absoluts o de caiguda lliure d'una massa testic i relatius o de moll metàlic que fan oscilar una massa.

Història

Archiu:Kater pendulum use.png

Péndola de Kater original (pres d'una publicació de Kater de 1818).

Kater va ser un físic i militar anglés que havia participat en el Gran Proyecte de Topografia Trigonométrica, que va començar en 1802. Pero va resaltar per les seues numeroses investigacions científiques portades a terme per a millorar la precisió dels sistemes de medició, innovacions en el terreny de l'astronomia i com a màxim exponent l'invenció de la péndola reversible que du el seu nom.

Orige de la péndola de Kater

La péndola de Kater respon a un encàrrec de la Royal Society a Henry Kater.

El citat encàrrec va consistir en determinar la llongitut d'una péndola de segons (péndola el periodo de la qual és de dos segons, un segon per a oscilar en un sentit i un atre segon per a l'oscilació de tornada).

La péndola original estava format per una barra metàlica rígida proveïda de dos cuchilles, en les seues vores enfrontades. Les cuchilles, recolzades per les seues vores sobre un soport rígit i robust, servixen d'eixos de suspensió. Consta també de dos discs metàlics que poden desplaçar-se a lo llarc de la barra de la péndola. El disc de menor massa està situat en un dels extrems de la barra, fòra de la zona de les cuchilles; l'atre disc més pesat, està colocat entre elles. D'esta forma, s'obtindran dos periodos d'oscilació segons la cuchilla que s'utilise com a eix de suspensió. Normalment el disc de major massa es manté fix, mentres que el disc de menor massa es va desplaçant fins que els dos periodos de coincidixquen (figura 1). Kater va determinar la llongitut de la vareta i les masses dels discs en funció del valor de l'acceleració de la gravetat que es coneixia en Londres.

La péndola pot usar-se per a determinar l'acceleració de la gravetat en gran precisió en un punt concret de la superfície terrestre coneixent la llongitut de la vareta. Com la Terra no és una esfera perfecta, no té una densitat homogénea i es troba en rotació, l'acceleració de la gravetat varia d'uns punts a uns atres de la superfície terrestre.

A raïl d'este experiment, Kater i atres investigadors varen calcular la gravetat local en diferents regions del món, com ho varen fer atres països, lo que els va permetre comprendre millor la geometria i estructura de la Terra. Els resultats obtinguts en la péndola de Kater en la mida de l'acceleració de la gravetat servixen, entre atres coses, per a estudiar les formacions geològiques i facilitar la busca de minerals.

Archiu:Moglfm21x1pendulokater.jpg

Péndola de Kater (esquema).

Investigacions paraleles

Kater va ser un dels científics europeus que varen contribuir al desenroll de la gravimetria. Un atre investigador notable en este camp va ser Friedrich W. Bessel, matemàtic i astrònom alemà, que va simplificar el método de Kater per a l'obtenció de l'acceleració de la gravetat. D'acort en el método de Bessel no era necessari que els periodos d'oscilació T i T′ foren iguals, sino tan sol que hi haguera una chicoteta diferència entre abdós com va demostrar matemàticament a partir d'una de les expressions de la péndola composta. En Espanya, els primers treballs reconeguts per l'Associació Internacional de Geodèsia varen ser els realisats per Joaquín María Barraquer i Rovira. Per a ells va amprar una péndola de Repsold que es va construir basant-se en els càlculs de Bessel. Barraquer va realisar les primeres mides en els antics locals del Institut Geogràfic i Estadístic del carrer Jorge Juan número 8 de Madrit durant l'any 1877. A estes varen seguir les realisades en la biblioteca del Observatori Astronòmic de Madrit en els anys 1882 i 1883, amprant per a això esta volta dos aparats de péndola de Bessel fabricats per Repsold, un de gran i un atre menut. La determinació de la llongitut de la péndola matemàtica va ser certificada per el BIPM (Bureau International dones poids et mesures) de Sèvres, París. Aixina es va obtindre el primer valor absolut de la gravetat en Madrit en un error d'1,6 miligales. Este valor va ser de g= 9.800156 ± 0.000016 ms^-2.

Fonament teòric

Péndola física

La péndola física és un sòlit en rotació al voltant d'un eix fix horisontal, que oscila, per tant, sobre un pla vertical. Quan se separa un àngul θ de la posició d'equilibri i se solta, sobre el sòlit actua el moment del pese mg, que té signe contrari al desplaçament.

L'equació de la dinàmica de rotació és la següent:

(1) $I_0\alpha =-mgh\mathrm{sen}\theta$

Símbol	Nom
$I_0$	Moment d'inèrcia del cos respecte de l'eix de rotació que passa per O |-	$\alpha$	Acceleració angular
$h$	Distància des del centre de masses c.d.m. al centre d'oscilació O, com es pot apreciar en la Figura 2.

Archiu:PénduloKater3.png

Figura 2: Péndola física

L'equació (1) expressada en forma d'equació diferencial és equivalent a la següent:

(2) $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{mgh}{I_0}\mathrm{sen}\theta =0$

Si l'amplitut de l'àngul θ és menuda, podem aproximar el sen de l'àngul a l'àngul medit en radianes, i.i., senθ≈θ. L'equació diferencial s'escriu llavors:

(3) $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{mgh}{I_0}\theta =0$

Que correspon a l'equació diferencial d'un M.A.S. de freqüència angular ω i periodo T:

(4) $w^2=\frac{mgh}{I_0}$

(5) $T=2\pi \sqrt{\frac{I_0}{Mgh}}$

Pel Teorema de Steiner:

(6) $I_0=I_c+m{h}^2=m{K}^2+m{h}^2$

Símbol	Nom
$I_c$	Moment d'inèrcia respecte a un eix que passa pel c.d.m.
$K$	Radi de gir sobre un eix paralel al de suspensió que passe pel c.d.m. de la péndola

Substituint el valor d'I₀ en l'equació [5] obtenim el periodo per a la péndola física:

(7) $T=2\pi \sqrt{\frac{K^2+h^2}{gh}}$

Archiu:Figura3.1 Doblerama longitud.jpg

Figura 3.1: Curva de doble branca, T(h), en la llongitut equivalent (λ, λ'). Es pren com a orige el centre de masses.

Archiu:DobleramaRadio.jpg

Figura 3.2: Curva de doble branca, T(h), en el radi de gir (K, K'). Es pren com a orige el centre de masses.

Quan es representa T en funció d'h, obtenim una curva en dos branques simètriques sobre la posició de centre de masses com podem observar en les Figures 3.1 i 3.2. En elles es pot apreciar ademés que existixen fins a quatre posicions de la péndola en igual periodo com es justificarà més alvance. Esta propietat s'usarà per a determinar l'anomenada llongitut equivalent l de la péndola.

El periodo alcança un valor infinit per a h =0, és dir, quan coincidix el centre de masses en el centre d'oscilació O. La curva presenta un mínim per a un cert valor d'h que es pot calcular derivant T respecte d'h i igualant a zero.

(8) $\frac{d{T}^2}{dh}=4{\pi }^2\frac{2g{h}^2-(K^2+h^2)g}{g^2{h}^2}=0$

(9) $h_m=K$

(10) $T_m=2\pi \sqrt{\frac{2K}{g}}$

La posició del mínim K, correspon al radi de gir de la péndola. Com es pot vore en la figura 3.2 hi ha dos mínims un en K i un atre en K' corresponent a h>0 i h<0 respectivament. En les dos gràfiques de la figura 3 es pot comprovar la propietat de la péndola física com a péndola reversible: donat un valor de T s'obtenen dos valors en h>0 i atres dos en h<0, que fan que la péndola física oscile en dit periodo. Per a això n'hi ha prou en elevar al quadrat i agrupar en un sol membre les equacions anteriors obtenint una equació de segon grau en h com a incògnita:

(11) $h^2-\frac{T^{2}g}{4{\pi }^2}h+K^2=0$

De les propietats de les solucions de l'equació de segon grau:

(12) $h+h^{\prime }=\frac{T^{2}g}{4{\pi }^2}$

(13) $h\cdot h^{\prime }=K^2$

Medint en la gràfica h i h’ per a un valor donat de T, s'obté el valor de l'acceleració de gravetat g a partir de l'equació [12]. També es pot obtindre el moment d'inèrcia de la péndola $I_c=m{K}^2$ compost respecte a un eix que passa pel centre de masses, una volta realisades les mides i calculat el centre de masses equació [6].

Si es compara l'expressió del periodo de la péndola física, en l'equivalent del péndola simple:

(14) $T=2\pi \sqrt{\frac{K^2+h^2}{gh}}T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

es pot obtindre un periodo equivalent d'un péndola simple de llongitut λ:

(15) $\lambda =\frac{K^2+h^2}{h}=\frac{I_o}{mh}$

A este resultat se li dona el nom de “llongitut de péndola simple equivalent”.

Péndola reversible

Com s'ha aclarit en el paràgraf anterior, el fonament de la péndola reversible és el de la péndola física que es caracterisa per tindre vàries solucions de la distancia h al centre de masses que presenten el mateix periodo (figures 3.1 i 3.2; equació 14). En la pràctica significa, que es pot fer oscilar a la péndola entorn a dos eixos paralels situats a abdós costats respecte del centre de masses.

El centre de suspensió (O) és el punt de cort de l'eix de gir en el sòlit que oscila. I el punt que es troba a una distància λ = (h +h’) es denomina centre d'oscilació (O’). Si ara fem passar un eix de rotació paralel a l'original per O’; O passara a ser el centre d'oscilació. Com abdós punts són intercanviables reben el nom de punts conjugats. Tot lo anterior es veu englobat per la Teorema de Huygens que enuncia: «La llongitut reduïda d'una péndola física no varia quan el centre d'oscilació O’ pansa a ser centre de suspensió (O), puix abdós punts permuten entre sí els seus papers. El periodo de la péndola serà el mateix en abdós casos».

Péndola de Kater

És un tipo concret de péndola física o compost l'aspecte clàssic de la qual és el que mostra la figura 1 i el vídeo 1. En la figura 4 pot vore's un dibuix esquemàtic de la péndola de Kater utilisat en la mida experimental de l'acceleració de la gravetat d'esta aplicació. Bàsicament, la péndola de Kater consta de: una barra rígida a la que se li unixen dos cuchilles (O i O’) i dos masses (m i m’). Una de les cuchilles es recolza sobre un soport que fa de centre de suspensió, mentres que l'atra es deixa lliure fent el paper de centre d'oscilació.

Archiu:Pendulo.jpg

Figura 4: Péndola de Kater

Desplaçant la pesa exterior (A) es pot aplegar a una disposició dels elements en la que s'obté igualtat de periodos. En esta situació a on s'igualen els periodos, O i O’ són punts conjugats. Friedrich Bessel va demostrar que, per a la determinació exacta del valor de g no és necessari el llent procés que conduïx a l'igualació dels periodos d'oscilació, T i T′, de manera molt precisa. És suficient que siguen aproximadament iguals, i.i., que la diferencia T-T′ siga molt menuda. El procediment es coneix com "Método de Bessel per a la mida de l'acceleració de la gravetat g".

En efecte, a partir d'una de les expressions del periodo de la péndola composta, equació [7],

(16) $T=2\pi \sqrt{\frac{h^2+K^2}{gh}}$

i recordant que K el radi de gir sobre un eix paralel al de suspensió que passe pel centre de gravetat G de la péndola i h la distància OG, podem obtindre:

(17) $\frac{gh{T}^2}{4{\pi }^2}=h^2+K^2\text{y}\frac{g{h}^{\prime }T{\text{'}}^2}{4{\pi }^2}=h{\text{'}}^2+K^2$

de modo que, restant membre a membre, tenim:

$g\frac{h{T}^2-h^{\prime }T{\text{'}}^2}{4{\pi }^2}=h^2-h{\text{'}}^2$

d'a on

(18) $\frac{4{\pi }^2}{g}=\frac{h{T}^2-h^{\prime }T{\text{'}}^2}{h^2-h{\text{'}}^2}=\frac{T^2+T{\text{'}}^2}{2(h+h^{\prime })}+\frac{T^2-T{\text{'}}^2}{2(h-h^{\prime })}$

Llavors, si el centre de gravetat (G) de la péndola es troba més prop d'una cuchilla que de l'atra, la diferència (h-h′) no és chicoteta i, ya que T és aproximadament igual a T′, el segon terme de l'expressió anterior serà despreciable en comparació al primer, per lo que el valor de g pot obtindre's per mig de la fòrmula:

(19) $g=8{\pi }^2\frac{h+h^{\prime }}{T^2+T{\text{'}}^2}$

Bibliografia

• Feynman, Leighton and Sands (1964). Lectures on physics, Ed. Addison-Wesley.; http://en.wikipedia.org/wiki/the_feynman_lectures_on_physics
• Marion, Jerry B. (1996). Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes, Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
• Tipler, Paul A. (2000). Física per a la ciència i la tecnologia (2 volums), Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.; ^{[enllaç trencat]} Física per a la ciència i la tecnologia. Vol. 1, Mecànica, oscilacions i ones, termodinàmica / Paul A. Tipler

• Resnick,R. and Halliday, D. (1996). Physics, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2.; http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=0471320005&itemTypeId=BKS&bcsId=1074 Pàgina Editorial