Orde multiplicativo

En teoria de números, donat un número entero a i un sancer positiu n coprimo en a (és dir, tal que mcd(a,n) = 1), el orde multiplicativo de a mòdul n és el menor sancer positiu k que complix

a^k ≡ 1 (mòdul n).

L'orde de a (mód n) se sol denotar ord_n a, o be O_n(a).

Per eixemple, per a determinar l'orde multiplicativo de 4 mòdul 7, calculem 4² = 16 ≡ 2 (mód 7) i 4³ ≡ 64 ≡ 1 (mód 7), per tant, ord₇(4) = 3.

Sense saber que estem treballant en un grup finito, es pot demostrar que a té un orde si les potències de a només poden prendre un número finito de valors mòdul n, per lo que deu haver dos exponents, s i t, tals que a^s ≡ a^t (mód n). Com a i n són coprimos, açò implica que a^|s-t| ≡ 1 mòdul n.

El concepte d'orde multiplicativo és un cas especial del orde d'elements d'un grup. L'orde multiplicativo d'un número a mòdul n és l'orde de a en el grup multiplicativo els elements del qual són els residus mòdul n dels número coprimo en n, i l'operació de la qual de grup és la multiplicació mòdul n. Est és el grup d'unitats del anell Z_n; té φ(n) elements (a on φ denota la funció φ de Euler), i es denota per O(n) o O(Z_n).

Com a conseqüència del teorema de Lagrange, ord_na sempre dividix a φ(n). Si ord_n a és igual a φ(n) i per tant té el valor màxim que pot tindre, llavors a es diu raïl primitiva mòdul n. Açò significa que el grup O(n) és cíclico i la classe de residus de a ho genera.

Vore també

• Aritmètica modular
• Orde (teoria de grups)