Número congruente

Archiu:Rtriangle-mathsinegypt.svg

Triàngul rectàngul en àrea 6, un número congruente

En teoria de números, un número congruente és un número entero positiu que representa l'àrea d'un triàngul rectàngul que els seus tres costats tenen llongituts que són número racional. Una definició més general inclou tots els número racional positius en esta propietat.

La seqüència de números (sancers) congruents comença en

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... Plantilla:OEIS

Taula dels número congruente: n &li; 120
—: Número no congruent
C: Número congruente lliure de quadrats
S: Número congruente en factors quadrats

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Per eixemple, 5 és un número congruente perque és l'àrea d'un triàngul de costats (20/3, 3/2, 41/6). De manera similar, 6 és un número congruente perque és l'àrea d'un triàngul (3,4,5). En canvi, 3 i 4 no són número congruente.

Si q és un número congruente, llavors s²q també és un número congruente per a qualsevol número natural s (simplement multiplicant cada costat del triàngul per s), i viceversa. Açò du a l'observació de que si un número racional distint de zero q és un número congruente depén solament del seu residu en el grup

${\mathbb{Q}}^{*}/{\mathbb{Q}}^{*2}$,

a on ${\mathbb{Q}}^{*}$ és el conjunt d'número racional distints de zero.

Cada classe de residu en este grup conté exactament un sancer lliure de quadrats i, per lo tant, és comú considerar sol número entero positius lliures de quadrats quan es parla d'número congruente.

Problema dels número congruente

La qüestió de determinar si un número racional donat és un número congruente es denomina problema dels número congruente. Este problema no s'ha resolt en èxit (a data de 2019). El teorema de Tunnell proporciona un criteri fàcilment comprobable per a determinar si un número és congruent; pero el seu resultat es basa en la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer, que encara no s'ha provat.

El teorema del triàngul rectàngul de Fermat, cridat aixina per Pierre de Fermat, establix que cap quadrat perfecte pot ser un número congruente. No obstant, en la forma de que tot congruum (la diferència entre elements consecutius en una progressió aritmètica de tres quadrats) no és un quadrat, ya era conegut (sense demostració) per Leonardo de Pisa. Tot congruum és un número congruente, i tot número congruente és el producte d'un congruum i el quadrat d'un número racional. No obstant, determinar si un número és un congruum és molt més fàcil que determinar si és congruent, perque hi ha una fòrmula parametrizada per als congrua per a la que solament es necessita provar un número finito de valors de paràmetros.

Soluciones

n és un número congruente si i solament si el sistema

$x^2-n{y}^2=u^2$, $x^2+n{y}^2=v^2$

té una solució a on $x,y,u$ i $v$ són número entero.

Donada una solució, els tres números $u^2$, $x^2$ i $v^2$ formaran una progressió aritmètica en diferència comuna $n{y}^2$.

Ademés, si hi ha una solució (a on els costats drets són quadrats), llavors hi ha infinites: donada qualsevol solució $(x,y)$, una atra solució $(x^{\prime },y^{\prime })$ es pot calcular a partir de

$x^{\prime }=(xu{)}^2+n(yv{)}^2$,

$y^{\prime }=2xyuv$.

Per eixemple, en $n=6$, les equacions són:

$x^2-6y^2=u^2$,

$x^2+6y^2=v^2$.

Una solució és $x=5,y=2$ (de modo que $u=1,v=7$). Una atra solució és

$x^{\prime }=(5\cdot 1{)}^2+6(2\cdot 7{)}^2=1201$,

$y^{\prime }=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140$.

En estos nous valors de $x$ i $y$, els valors de la dreta seguixen sent quadrats:

$u^2=1201^2-6\cdot 140^2=1324801=1151^2$

$v^2=1201^2+6\cdot 140^2=1560001=1249^2$.

Daus $x,y,u$ i $v$, es poden obtindre $a,b$ i $c$ tals que

$a^2+b^2=c^2$ i $\frac{ab}{2}=n$

de

$a=\frac{v-u}{y}$, $b=\frac{v+u}{y}$, $c=\frac{2x}{y}$.

Llavors $a,b$ i $c$ són els catetos i la hipotenusa d'un triàngul rectàngul d'àrea $n$.

Els valors anteriors $(x,y,u,v)=(5,2,1,7)$ produïxen $(a,b,c)=(3,4,5)$. Els valors $(1201,140,1151,1249)$ donen $(a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)$. Abdós triànguls rectànguls tenen àrea $n=6$.

Bibliografia

• (1980).«The Congruent Number Problem».American Mathematical Monthly.Mathematical Association of America.87(1)

43–45.doi:10.2307/2320381.

• (1998).«The Congruent Number Problem».Resonance.3(8)

33–45.doi:10.1007/BF02837344.

• «History of the Theory of Numbers».Dover Publications.II: Diophantine Analysis - vore, per a una història del problema.
• «Unsolved Problems in Number Theory».Springer. - Es donen moltes referències.