Teorema de Tunnell

En teoria de números, la teorema de Tunnel^[1] dona una resolució parcial al problema dels número congruente, i baixe la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer, una resolució completa. Deu el seu nom al matemàtic nortamericà Jerrold B. Tunnell (1950-2022).

Problema dels número congruente

Artícul principal → Número congruente.

El problema dels número congruente pregunta qué número natural pot ser l'àrea d'un triàngul rectàngul en els tres costats racionals. La teorema de Tunnell relaciona esta qüestió en el número de solucions sanceres d'algunes equacions diofánticas prou simples.

Teorema

Per a un sancer lliure de quadrats n donat, es definix^[1]

\begin{matrix} A_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 32 z^{2}}, \\ B_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2}}, \\ C_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 64 z^{2}}, \\ D_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 16 z^{2}} . \end{matrix}

La teorema de Tunnell establix que suponent que n és un número congruente, si n és impar llavors 2A_n = B_n i si n és parell llavors 2C_n = D_n. Pel contrari, si la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer es complix per a les curves elíptiques de la forma $y^{2} = x^{3} - n^{2} x$ , estes igualtats són suficients per a concloure que n és un número congruente.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Judith D. Sally (2007). Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, American Mathematical Soc., pp. 119 de 338. ISBN 9780821872673.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Tunnell» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[JDS-1] 1,0 ^1,1 Judith D. Sally (2007). Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems, American Mathematical Soc., pp. 119 de 338. ISBN 9780821872673.

[1]