Congruum

Els dos triànguls rectànguls en llongituts d'un cateto i hipotenusa (7,13) i (13,17), tenen els seus tercers costats iguals i de llongitut $\sqrt{120}$. El quadrat d'este costat, 120, és un congruum: és la diferència entre valors consecutius en la progressió aritmètica dels quadrats 7², 13², 17². De manera equivalent, les dos corones circulares entre els tres círculs grocs tenen àrees iguals, π voltes el congruum

En teoria de números, un congruum (plural congrua) és la diferència entre quadrats perfectes successius en una progressió aritmètica de tres quadrats.

És dir, si $x^2$, $y^2$ i $z^2$ (per als número entero $x$, $y$ i $z$) són tres quadrats que estan igualment separats entre sí, llavors la separació entre ells, $z^2-y^2=y^2-x^2$, es denomina congruum.

El problema de la congruència consistix en trobar quadrats en progressió aritmètica i la seua congruum associat. Es pot formalisar com una equació diofántica: trobar els sancers $x$, $y$ i $z$ tals que

$$y^2-x^2=z^2-y^2.$$

Quan se satisfà esta equació en número entero, abdós costats de l'equació són iguals al congruum.

Leonardo de Pisa va resoldre el problema de la congruència trobant una fòrmula parametrizada per a generar tots els congrua, junt en les seues progressions aritmètiques associades. Segons esta fòrmula, cada congruum és quatre voltes l'àrea d'una terna pitagórico. Els congrua també estan estretament relacionats en els número congruente: tot congruum és un número congruente i tot número congruente és un congruum multiplicat pel quadrat d'un número racional.

Eixemples

Com a eixemple, el número 96 és un congruum perque és la diferència entre quadrats adjacents en la seqüència 4, 100 i 196 (els quadrats de 2, 10 i 14 respectivament).

Els primers congrua són:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720 … Plantilla:OEIS

Història

El problema del congruum es va plantejar originalment en 1225, com a part d'un torneig matemàtic preconisat per l'emperador Federico II Hohenstaufen. La qüestió va ser resposta correctament en eixe moment per Leonardo de Pisa, qui va registrar el seu treball sobre este problema en la seua obra Liber Quadratorum.

Fibonacci ya sabia que és impossible que un congruum siga un quadrat, pero no va donar una demostració satisfactòria d'este fet. Geomètricament, açò significa que no és possible que el parell de catetos d'un triàngul pitagórico siga el cateto i l'hipotenusa d'un atre triàngul pitagórico. Finalment, Pierre de Fermat va donar una prova i el resultat ara es coneix com el teorema del triàngul rectàngul de Fermat. El propi Fermat també conjeturó, i Leonhard Euler va provar, que no existix una seqüència de quatre quadrats formant una progressió aritmètica.

Vore també

• Triàngul automediano, un triàngul que els seus quadrats en els tres costats formen una progressió aritmètica

• Espiral de Teodoro, formada per triànguls rectànguls els costats dels quals (no sancers), en elevar-se al quadrat, formen una progressió aritmètica infinita