Model de Drude

El model de Drude o model de Lorentz-Drude per a la conducció elèctrica va ser desenrollat cap al 1900 per Paul Drude per a explicar les propietats de transport d'electrons en materials (especialment en els metals). El model de Drude proporciona una base de la mecànica clàssica per a la conductivitat dels metals, es basa en l'aplicació de la teoria cinètica als electrons en un sòlit. Proporciona uns resultats raonables, aun cuando actualment ha segut superat pel corresponent model quàntic basat en la teoria de bandes de conducció.

Explicació

El model clàssic de Drude descriu un material conductor com una ret de ions positius immòvils travessada per un "gas" d'electrons lliures de densitat n. Estos electrons poden moure's baix l'influència d'un camp elèctric extern, pero el seu moviment es veu amortiguado per colisions en els ions del retícul cristalí, caracterisades per un temps de relaixació τ. És precisament este conjunt d'electrons lliures el que dona lloc a la conductivitat elèctrica del metal.^[1]

No obstant, en molts materials també existixen electrons lligats* als núcleus atòmics, que no poden moure's lliurement pero poden oscilar al voltant de la seua posició d'equilibri quan se someten a un camp elèctric oscilante, com el d'una ona electromagnètica. El model de Lorentz descriu esta contribució dels electrons lligats per mig d'osciladors harmònics, en una freqüència pròpia d'oscilació ω₀ i un terme esmortidor que representa pèrdues.^[2]

La combinació d'abdós enfocaments —el de Drude per als electrons lliures i el de Lorentz per als electrons lligats— dona lloc al cridat model de Lorentz–Drude. En este model, un mateix material pot tindre dos tipos de resposta electrònica simultànees:^[1]

La resposta dels electrons lliures (model de Drude), que domina la conductivitat elèctrica i explica cóm els portadors de càrrega contribuïxen al transport de corrent.
La resposta dels electrons lligats (model de Lorentz), que domina la dispersió òptica a freqüències més altes i permet descriure l'interacció del material en la llum, incloent fenomens d'absorció, resonància i reflexió.

En resum, el model de Drude–Lorentz combina els efectes dels electrons lliures i lligats, oferint una descripció més completa de les propietats tant elèctriques com a òptiques dels materials. Per això, el model rep el nom conjunt d'abdós autors: Drude per la part conductiva i Lorentz per la part òptica.

La següent taula mostra de manera clara les contribucions que va realisar cada autor al model:

Autor	Aportació principal	Contribució al model final
Hendrik A. Lorentz	Va propondre que els electrons estan lligats al núcleu i responen als camps elèctrics com a osciladors harmònics en una freqüència natural de resonància. El seu model va explicar la dispersió i absorció òptica en materials dielèctrics.	Aporta el concepte d'electrons lligats i l'idea de resonància òptica, fonamentals per a descriure cóm la llum interactua en els àtoms.
Paul Drude	Va aplicar la teoria cinètica dels gasos als metals, considerant els electrons com un gas de partícules lliures que choquen en els ions. Va explicar la conductivitat elèctrica i tèrmica, i va introduir la freqüència de plasma.	Aporta la descripció dels electrons lliures i la base de la conductivitat i la resposta òptica dels metals.
Model de Drude–Lorentz	Integra abdós idees: els electrons lliures de Drude i els lligats de Lorentz, descrivint aixina la resposta completa dels materials front a camps elèctrics i radiació.	Permet explicar simultàneament la conductivitat, la reflectividad i la dispersió òptica, sent la base clàssica de l'òptica i electrònica de materials.

Desenroll del model

El model de Drude supon que un portador promig de càrrega elèctrica està subjecte a l'acció d'una "força de resistència" $γ$ . En presència d'un camp elèctric extern I se satisfà la següent equació diferencial:

a on $⟨ \vec{v} ⟩$ és la velocitat promig, m és la massa efectiva i q la càrrega elèctrica del portador de càrrega. La solució estacionaria:

$\frac{d}{d t} ⟨ \vec{v} ⟩ = 0$

d'esta equació diferencial és:

$⟨ \vec{v} ⟩ = \frac{q τ}{m} \vec{E} = μ \vec{E}$

a on:

τ = \frac{m}{γ}

és el temps lliure mig d'un portador de càrrega, i

μ

és la movilitat elèctrica.

Si s'introduïx la densitat del gas de portadors de càrrega n (partícules per unitat de volum), podem relacionar a la velocitat promig en una corrent elèctrica:

$\vec{J} = n q ⟨ \vec{v} ⟩$

Es pot demostrar que el material satisfà la llei de Ohm en una conductivitat elèctrica en corrent elèctrica contínua $σ_{0}$ .

$\vec{J} = \frac{n q^{2} τ}{m} \vec{E} = σ_{0} \vec{E}$

El model de Drude permet també predir la corrent com una resposta a un camp elèctric variable en el temps en una freqüència angular $ω$ , en el cas de la qual:

$σ (ω) = \frac{σ_{0}}{1 + i ω τ}$

a on s'ha supost que:

E (t) = ℜ (E_{0} e^{i ω t})

J (t) = ℜ (σ (ω) E_{0} e^{i ω t})

Existix una atra convenció en la que, $i$ és reemplaçat per $- i$ en totes les equacions. La part imaginària indica que la corrent està retardada respecte al camp elèctric, lo que es produïx perque els electrons necessiten aproximadament un temps $τ$ per a accelerar-se en resposta a un canvi en el camp elèctric aplicat. En el cas previ el model de Drude es va aplicar als electrons; pero també pot ser aplicat als buits, és dir als portadors de càrrega positiva en els semiconductorés.

Denotant per mig de n_A la densitat d'electrons per unitat de volum s'obté una equació que relaciona el vector de polarisació i el camp elèctric:

$\vec{P} = n_{A} ⟨ π ⟩ = - n_{A} e \vec{r} (t)$

A on $⟨ π ⟩$ representa el valor mig del moment dipolar elèctric de l'electró lligat. El moviment dels electrons lligats vindria dau per la següent equació:

$m \frac{d \vec{v} (t)}{d t} = - e ({\vec{E}}_{m} + \vec{v} \times {\vec{B}}_{m}) - k \vec{r} - β \vec{v}$

a on I_m i B_m són els camps elèctric i magnètic a nivell microscòpic. Els atres térmens del segon membre representen respectivament la força elàstica i una força "viscosa", que en el model tracta de simular la contínua pèrdua d'energia deguda a l'efecte Joule. Dividint ara per la massa i multiplicant pel factor –i n_A s'obté:

A on s'ha introduït $k / m = ω_{0}^{2}$ i $β / m = γ$ .

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Fox (2010). Optical Properties of Solids, Oxford University Press. ISBN 978-0199573370.
↑ Born, Max (1999). Principles of Optics, Cambridge University Press. ISBN 978-0521642224.

Este artícul conté una traducció derivada de «Modelo de Drude» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[dup-0-63-1] 1,0 ^1,1 Fox (2010). Optical Properties of Solids, Oxford University Press. ISBN 978-0199573370.

[2] Born, Max (1999). Principles of Optics, Cambridge University Press. ISBN 978-0521642224.

[1]

[2]