Model d'electró lliure

En tres dimensions, la densitat dels estats d'un gas de fermiones és proporcional a la raïl quadrada de l'energia cinètica de les partícules.

En la física de l'estat sòlit, el model d'electró lliure és un model simple per a representar el comportament dels electrons de valència en una estructura cristalina d'un metal sòlit. Va ser desenrollat principalment per Arnold Sommerfeld, que va combinar el clàssic model de Drude en les estadístiques de la mecànica quàntica de Fermi-Dirac i per lo tant també és conegut com el model Drude-Sommerfeld.

L'aproximació de ret buida d'electró lliure és la base del model d'estructura de bandes denominat model d'electró casi lliure. Donada la seua simplicitat, és sorprenent el seu èxit en explicar molts fenomens experimentals, especialment:

• la llei de la conductivitat de Wiedemann-Franz que relaciona la conductivitat tèrmica i la conductivitat elèctrica;
• la dependència en la temperatura de la capacitat calorífica;
• la forma de la densitat electrònica dels estats;
• el ranc de valors d'energia d'enllaç;
• conductivitat elèctrica;
• emissió tèrmica d'electrons i emissió per efecte de camp.

Idees i suposicions

En el model d'electrons lliures es tenen en conte quatre supòsits principals:

• Aproximació d'electrons lliures: l'interacció entre els ions i els electrons de valència es desprecia en la seua major part, llevat en condicions de contorn. Els ions només mantenen la neutralitat de càrrega en el metal. A diferència del model Drude, els ions no són necessàriament la font de les colisions.
• Aproximació d'electrons independents: s'ignoren les interaccions entre electrons. Els camps electrostàtics dels metals són dèbils pel efecte de apantallamiento.
• Aproximació del temps de relaixació: existix algun mecanisme de dispersió desconegut tal que la provabilitat de colisió dels electrons és inversamente proporcional al temps de relaixació. $\tau$, que representa el temps promig entre colisions. Les colisions no depenen de la configuració electrònica.
• Principi d'exclusió de Pauli: Cada estat quàntic del sistema només pot ser ocupat per un únic electró. Esta restricció dels estats dels electrons disponibles es té en conte en les estadístiques de Fermi-Dirac (vore també gas Fermi). Les principals prediccions del model d'electrons lliures es deriven de l'expansió de Sommerfeld de l'ocupació de Fermi-Dirac per a energies al voltant del nivell de Fermi.

El nom del model prové dels dos primers supòsits, ya que cada electró pot tractar-se com una partícula lliure en una respectiva relació quadràtica entre energia i moment.

La ret cristalina no es té en conte explícitament en el model de l'electró lliure, pero un any despuix (1928) el teorema de Bloch va donar una justificació mecànica quàntica: un electró lliure es mou en un potencial periòdic com un electró lliure en el buit, llevat la massa de l'electró m _i es convertix en una massa efectiva m* que pot desviar-se considerablement de m _i (inclús es pot usar una massa efectiva negativa per a descriure la conducció per els buits dels electrons). Les masses efectives poden derivar-se de càlculs d'estructures de bandes que originalment no es varen tindre en conte en el model de l'electró lliure.

Model Drude

Moltes propietats físiques es deriven directament del model Drude, ya que algunes equacions no depenen de la distribució estadística de les partícules. Prendre la distribució de velocitats clàssica d'un gas ideal o la distribució de velocitats d'un gas de Fermi solament canvia els resultats relacionats en la velocitat dels electrons.

Principalment, el model d'electrons lliures i el model de Drude prediuen la mateixa conductivitat elèctrica de CC σ per a la llei de Ohm, és dir

$𝐉=\sigma 𝐄$ en $\sigma =\frac{n{e}^2\tau }{m_e},$

on $𝐉$ és la densitat de corrent, $𝐄$ és el camp elèctric extern, $n$ és la densitat electrònica (número d'electrons/volum), $\tau$ és el temps lliure mig i $e$ és la càrrega elèctrica de l'electró.

Atres cantitats que permaneixen iguals baix el model de l'electró lliure que baix el de Drude són la susceptibilitat AC, la freqüència del plasma, la magnetorresistencia i el coeficient Hall relacionat en l'efecte Hall.