Mida del producte

En matemàtiques, daus dos espais mesurables i mides en ells, es pot obtindre un espai mesurable producte i una medida producte en eixe espai. Conceptualment, açò és similar a definir el producte cartesiano de conjunts i la topología del producte de dos espais topològics, excepto que pot haver moltes opcions naturals per a la mida del producte.

Deixar $(X_1,{\Sigma }_1)$ i $(X_2,{\Sigma }_2)$ ser dos espais mesurables, és dir, ${\Sigma }_1$ i ${\Sigma }_2$ són àlgebra sigma en $X_1$ i $X_2$ respectivament, i deixar ${\mu }_1$ i ${\mu }_2$ Es prendran mides sobre estos espais. Denotem per ${\Sigma }_1\otimes {\Sigma }_2$ l'àlgebra sigma sobre el producte cartesiano $X_1\times X_2$ generat per subconjunts del formulari $B_1\times B_2$, on $B_1\in {\Sigma }_1$ i $B_2\in {\Sigma }_2.$ Esta àlgebra sigma es diu àlgebra σ del producte tensorial en l'espai del producte.

Una mida de producte ${\mu }_1\times {\mu }_2$ (també denotat per ${\mu }_1\otimes {\mu }_2$ per molts autors) es definix com una mida en l'espai mensurable $(X_1\times X_2,{\Sigma }_1\otimes {\Sigma }_2)$ satisfer la propietat

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(B_1\times B_2)={\mu }_1(B_1){\mu }_2(B_2)$

per a tots

$B_1\in {\Sigma }_1,B_2\in {\Sigma }_2$ .

(En multiplicar mides, algunes de les quals són infinites, definim que el producte és zero si algun factor és zero).

De fet, quan els espais són $\sigma$ -finito, la mida del producte està definida de forma única, i per a cada conjunt mesurable I,

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(E)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(E^y)d{\mu }_2(y)=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(E_x)d{\mu }_1(x),$

on $E_x=\{y\in X_2|(x,y)\in E\}$ i $E^y=\{x\in X_1|(x,y)\in E\}$, que són abdós conjunts mesurables.

L'existència d'esta mida està garantisada pel teorema de Hahn-Kolmogorov. L'unicitat de la mida del producte es garantisa només en el cas de que abdós $(X_1,{\Sigma }_1,{\mu }_1)$ i $(X_2,{\Sigma }_2,{\mu }_2)$ són σ-finitos.

Les mides de Borel en l'espai euclidiano Rⁿ es poden obtindre com a producte de n copies de les mides de Borel en la recta real R.

Inclús si els dos factors de l'espai del producte són espais de mida complets, l'espai del producte pot no ser-ho. En conseqüència, el procediment de finalisació és necessari per a estendre la mida de Borel a la mida de Lebesgue, o per a estendre el producte de dos mides de Lebesgue per a donar la mida de Lebesgue en l'espai del producte.

La construcció oposta a la formació del producte de dos mides és la desintegració, que en cert sentit "dividix" una mida determinada en una família de mides que poden integrar-se per a donar la mida original.

Eixemples

• Daus dos espais de mida, sempre hi ha una mida de producte màxima única μ_max en el seu producte, en la propietat de que si μ_max (A) és finita per a algun conjunt mensurable A, llavors μ_max (A) = μ(A) per a qualsevol mida del producte μ. En particular, el seu valor en qualsevol conjunt mensurable és a lo manco el de qualsevol atra mida de producte. Esta és la mida que produïx el teorema d'extensió de Carathéodory.
• A voltes també hi ha una mida de producte mínima única μ _min, donada per μ_min (S) = sup _{A ⊂ S, μ max (A) finita} μ_max(A), a on se supon que A i S són mesurables.
• A continuació, es mostra un eixemple en el que un producte té més d'una mida de producte. Prenga el producte X &xD7; I, a on X és l'interval unitari en mida de Lebesgue i I és l'interval unitari en mida de conteo i tots els conjunts mesurables. Llavors per a la mida mínima del producte la mida d'un conjunt és la suma de les mides de les seues seccions horisontals, mentres que per a la mida màxima del producte un conjunt té mida infinita a menos que estiga contingut en l'unió d'un número contable de conjunts de la forma A. &xD7; B, a on A té mida de Lebesgue 0 o B és un sol punt. (En este cas, la mida pot ser finita o infinita). En particular, la diagonal té mida 0 per a la mida mínima del producte i mida infinita per a la mida màxima del producte.

Vore també

• Teorema de Fubini

Referències

• Loève, Michel (1977). «8.2. Product measures and iterated integrals», Probability Theory vol. I, 4th edició, Springer, pp. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• Halmos, Paul (1974). «35. Product measures», Measure theory, Springer, pp. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.