Mónada (teoria de categories)

En Teoria de categories, una branca de matemàtiques, una mónada (també cridada terna, tríade, construcció estàndar o construcció fonamental) és un endofunctor (un functor des d'una categoria cap a ella mateixa), junt en dos transformacions naturals. Les mónadas són utilisades en la teoria de parells de functores adjunts, i generalisen els operadors de clausura en conjunts parcialment ordenats a categories arbitràries.

Introducció

Si $F$ i $G$ són un parell de funtores adjunts, en $F$ adjunt esquerre a G, llavors la composició $G\circ F$ és una mónada. Per tant, una mónada és un endofunctor. Si F i G són funtores inversos, la corresponent mónada és el functor identitat. En general, les adjunciones no són equivalència; relacionen categories de naturalea diferents. La teoria de mónadas és rellevant com a part de l'esforç per capturar qué és lo que preserven les adjunciones. L'atra mitat de la teoria, sobre qué pot ser deprés de la mateixa forma pero considerant $F\circ G$ constituïx la teoria dual de comónadas.

Els axioma d'una mónada poden vore's en un eixemple simple: siga $G$ el funtor d'oblit de la categoria Grp de grups a la categoria Set de conjunts. Siga llavors $F$ el funtor lliure.

Açò significa que la mónada

$T=G\circ F$

pren un conjunt $X$ i torna el conjunt subjacent del grup lliure sobre ell, $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}(X)$. En esta situació, nos han donat dos morfismos naturals:

$X\to T(X)$

que s'obté incloent qualsevol conjunt $X$ en el conjunt $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}(X)$ de manera natural, com a cadenes de llongitut 1. I ademés,

$T(T(X))\to T(X)$

que pot obtindre's de manera natural com una concatenació o 'aplanado' de 'cadenes de cadenes'. Açò nos deixa dos transformacions naturals

$I\to T$

i

$T\circ T\to T$

Que satisfaran alguns axioma sobre identitat i asociatividad resultants de les propietats de la adjunción.

Un atre eixemple es té quan $T$ és el endofuntor en la categoria dels espais vectorials que du un espai vectorial $V$ al seu àlgebra tensorial $T(V)$, i que du les aplicacions llineals al seu producte tensor. Tenim llavors transformacions naturals corresponent a la incrustación de V en la seua àlgebra tensorial, i una transformació natural corresponent a l'aplicació des de $T(T(V))$ a $T(V)$ que s'obté simplement expandint tots els productes tensoriales. Estes satisfan els axioma de mónada.

Cada mónada sorgix des d'alguna adjunción, de fet, típicament des de vàries adjunciones. Les dos construccions introduïdes anteriorment, la categoria de Kleisli i la categoria de àlgebra de Eilenberg-Moore, són solucions extremes al problema de construir una adjunción que dona lloc a una certa mónada.

Definició formal

Si $C$ és una categoria, una mónada en $C$ consistix en un endofuntor $T:C\to C$ junt a dos transformacions naturals: $\eta :1_C\to T$ (a on $1_C$ denota el funtor identitat en $C$) i $\mu :T^2\to T$ (a on $T^2$ és el funtor $T\circ T$, de $C$ a $C$). Als que se'ls requerix que complixquen les següents condicions (a voltes cridades condicions de coherència):

• $\mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T$ (com a transformacions naturals $T^3\to T$);

• $\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_T$ (com a transformacions naturals $T\to T$; ací $1_T$ denota la transformació identitat des de $T$ a $T$).

Podem reescriure eixes condicions usant els següents diagrames conmutativos:

Vore l'artícul sobre transformacions naturals per a una explicació de les notacions $T\mu$ i $\mu T$, o vegen-se els següents diagrames, que no usen eixa notació:

Erro al crear miniatura:

El primer axioma és similar a l'asociatividad en monoides, el segon axioma a l'existència d'un element identitat. De fet, una mónada en $C$ pot ser definida de forma alternativa com un monoide en la categoria ${𝐄𝐧𝐝}_C$ els objectes de la qual són els endofuntores de $C$ i que els seus morfismos són les transformacions naturals entre ells, en l'estructura monoidal induïda per l'operació de composició entre endofuntores.