Método matricial de la rigidea

El método matricial de la rigidea és un método de càlcul aplicable a estructures hiperestáticas de barres que es comporten de forma elàstica i llineal. En anglés se li denomina direct stiffness method (DSM, método directe de la rigidea), encara que també se li denomina el método dels desplaçaments. Este método està dissenyat per a realisar anàlisis computarizado de qualsevol estructura incloent a estructures estáticamente indeterminades. El método matricial es basa en estimar els components de les relacions de rigidea per a resoldre les forces o els desplaçaments per mig d'un ordenador. El método de rigidea directa és l'implementació més comuna del método dels elements finitos. Les propietats de rigidea del material són compilados en una única equació matricial que governa el comportament intern de l'estructura idealizada. Les senyes que es desconeixen de l'estructura són les forces i els desplaçaments que poden ser determinats resolent esta equació. El método directe de la rigidea és el més comú en els programes de càlcul d'estructures (tant comercials com de font lliure).

El método directe de la rigidea es va originar en el camp de l'aeronàutica. Els investigadors varen conseguir aproximar el comportament estructural de les parts d'un avió per mig d'equacions simples pero que requerien grans temps de càlcul. En l'arribada dels ordenadors estes equacions es varen escomençar a resoldre de forma ràpida i senzilla.

Introducció

El método consistix en assignar a l'estructura de barres un objecte matemàtic, cridat matriu de rigidea, que relaciona els desplaçaments d'un conjunt de punts de l'estructura, cridats nodos, en les forces exteriors que és necessari aplicar per a conseguir eixos desplaçaments (les components d'esta matriu són forces generalisades associades a desplaçaments generalisats). La matriu de rigidea relaciona les forces nodales equivalents i desplaçaments sobre els nodos de l'estructura, per mig de la següent equació:

A on: $F_i$ són les forces nodales equivalents associades a les forces exteriors aplicades sobre l'estructura; $R_i$ són les reaccions hiperestáticas inicialment desconegudes sobre l'estructura; ${\delta }_i$ els desplaçaments nodales incògnita de l'estructura i $n$ el número de graus de llibertat de l'estructura.

l'energia de deformació elàstica també pot expressar-se en térmens de la matriu de rigidea per mig de la relació:

Del teorema de Maxwell-Betti es deduïx que la matriu de rigidea deu ser simètrica i per tant:

Fonament teòric

En general, un sòlit deformable real, com qualsevol mig continu és un sistema físic en un número infinit de graus de llibertat. Aixina succeïx que en general per a descriure la deformació d'un sòlit necessitant-se explicitar un camp vectorial de desplaçaments sobre cada u dels seus punts. Este camp de desplaçaments en general no és reductible a un número finito de paràmetros, i per tant un sòlit deformable de forma totalment general no té un número finito de graus de llibertat.

No obstant, per a barres llargues elàstiques o prismes mecànics de llongitut gran comparada en l'àrea de la seua secció travessera, el camp de desplaçaments ve dau per la cridada curva elàstica la deformació de la qual sempre és reductible a un conjunt finito de paràmetros. En concret, fixats els desplaçaments i girs de les seccions extremes d'una barra elàstica, queda completament determinada la seua forma. Aixina, per a una estructura formada per barres llargues elàstiques, fixats els desplaçaments dels nucs, queda completament determinada la forma deformada de dita estructura. Açò fa que les estructures de barres llargues puguen ser tractades molt aproximadament per mig d'un número finito de graus de llibertat i que puguen ser calculades resolent un número finito d'equacions algebraiques. El método matricial proporciona eixes equacions en forma de sistema matricial que relaciona els desplaçaments dels extrems de la barres en variables depenents de les forces exteriors.

Açò contrasta en la situació general dels sòlits elàstics, a on el càlcul de les seues tensions internes i deformacions involucra la resolució de complexos sistemes d'equacions diferencials en derivades parcials.

Referències

Bibliografia

• Monleón Cremades, S., Anàlisis de voltons, arcs, plaques i làmines, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.
• (2001).«A historical outline of matrix structural analysis: a play in three acts».Computers & Structures.79(14)

1313–1324.ISSN 0045-7949.doi:10.1016/S0045-7949(01)00025-6.Consultat el 28 de setembre de 2014.

• Felippa, Carlos A. Introduction to Finite Element Method. Fall 2001. University of Colorat. 18 Sept. 2005 <http://www.devdept.com/fem/books.php>
• Robinson, John. Structural Matrix Analysis for the Engineer. New York: John Wiley & Sons, 1966
• Rubinstein, Moshe F. Matrix Computer Analysis of Structures. New Jersey: Prentice-Hall, 1966
• McGuire, W., Gallagher, R. H. i Ziemian, R. D. Matrix Structural Analysis, 2nd Ed. New York: John Wiley & Sons, 2000.

Programes

• Frame3dd (OPEN SOURCE)
• EBÉs (Estructures de Barres Espacials - Diagrames d'elàstica i solicitaciones -Gratuït)
• W-Trite (programa gratuït d'anàlisis d'estructures de barres)
• Cype
• Sap2000