Integral de Riemann-Liouville

En matemàtiques, la integral de Riemann-Liouville associa a una funció real $f:ℝ\to ℝ$ una atra funció I^α f del mateix tipo per a cada valor del paràmetro α > 0. L'integral és una forma de generalisació de l'antiderivada repetida de f en el sentit de que, per a valors sancers positius de α, I^α f és una antiderivada iterada de f d'orde α. L'integral de Riemann-Liouville rep el seu nom de Bernhard Riemann i Joseph Liouville, sent este últim el primer en considerar la possibilitat del càlcul fraccional en 1832. L'operador coincidix en la «transformada de Euler», en honor a Leonhard Euler, quan s'aplica a funcions analítiques. Va ser generalisat a dimensions arbitràries per Marcel Riesz, qui va introduir el potencial de Riesz.

Motivació

L'integral de Riemann-Liouville té el seu orige en la fòrmula de Cauchy per a l'integració repetida. Per a una funció f contínua en l'interval [a,x], la fòrmula de Cauchy per a l'integració repetida n voltes establix que

$$I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Ara be, esta fòrmula pot generalisar-se a qualsevol número real positiu substituint el sancer positiu n per α, Per lo tant, obtenim la definició de l'integral fraccionaria de Riemann-Liouville per mig de

$I^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t$

Definició

L'integral de Riemann-Liouville es definix com

$I^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$

a on Γ és la funció gamma i a és un punt base arbitrari pero fix. L'integral està ben definida sempre que f siga una funció localment integrable i α siga un número complejo en el semiplano Re(α) > 0. La dependència del punt de base a a sovint s'omet, i representa una llibertat en la constant d'integració. Clarament I¹ f és una antiderivada de f (de primer orde), i per a valors sancers positius de α, I^α f és una antiderivada d'orde α per fòrmula de Cauchy per a l'integració repetida. Una atra notació, que emfatisa el punt base, és

${}_a{D}_x^{-\alpha }f(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt.$

Açò també té sentit si a −∞, en restriccions adequades sobre f.

Es complixen les relacions fonamentals

$\frac{d}{dx}{I}^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,$

esta última és una propietat dels semigrupos. Estes propietats permeten no solament definir l'integració fraccionaria, sino també la derivació fraccionaria, prenent un número suficient de derivades de I^α f.

Bibliografia

• Plantilla:Springer.
• (1967).«Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II».Geophysical Journal International.13(5)

529–539.doi:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x..

• (1974).«Functional analysis and semi-groups».American Mathematical Society.Providence, R.I.:.
• Plantilla:Springer.
• «Fractional Calculus: History, Definitions and Applications for the Engineer».University of Notre Dona'm.Notre Dona'm, IN:
• (1993).«An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations».John Wiley & Sons..
• (1949).«L'integra-li de Riemann-Liouville et li problème de Cauchy».Acta Mathematica.81(1)

1–223.ISSN 0001-5962.doi:10.1007/BF02395016..