Fòrmula de Cauchy per a l'integració repetida

La fòrmula de Cauchy per a l'integració repetida, que du el nom d'Augustin-Louis Cauchy, permet condensar n antiderivada d'una funció en una sola integral (vore la fòrmula de Cauchy). Per a n no sancer, dona lloc a la definició d'integrals fraccionarias i (en n < 0) de derivades fraccionarias.

Case escalar

Siga f0 una funció contínua en la recta real. Llavors, la n-ésima integral iterativa de f en punt de base a, $$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1,$$ ve donada per una integració simple $$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Demostració

La demostració es realisa per mig d'inducció. El cas base en n = 1 és trivial, ya que és equivalent a $$f^{(-1)}(x)=\frac{1}{0!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{0}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$$.

Ara, supongam que açò és cert per a n, i demostrem que ho és per a n + 1. En primer lloc, utilisant la regla d'integració de Leibniz, observem que $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$ A continuació, aplicant l'hipòtesis d'inducció, $$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}[\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2]\mathrm{d}{\sigma }_1.\end{array}$$ Observe's que el terme entre corchetes conté n integració successives, i que el llímit superior de l'integral més externa dins dels corchetes és ${\sigma }_1$. Per lo tant, comparant en el cas per a «n» = «n» i substituint $x,{\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n$ de la fòrmula en el pas d'inducció «n» = «n» per ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_{n+1}$ respectivament, s'obté $$\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}({\sigma }_1-t{)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$ En colocar esta expressió dins del corchete s'obté $$\begin{array}{cc}& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}({\sigma }_1-t{)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }_1}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}({\sigma }_1-t{)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n}f(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

• S'ha demostrat que esta afirmació és certa per al cas base $n=1$.
• Si l'afirmació és verdadera per a $n=k$, llavors s'ha demostrat que l'afirmació és verdadera per a $n=k+1$.
• Per lo tant, s'ha demostrat que esta afirmació és verdadera per a tots els número entero positius.

En açò es completa la demostració.

Generalisacions i aplicacions

La fòrmula de Cauchy es generalisa a paràmetros no sancers per mig de l'integral de Riemann-Liouville, a on $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ se substituïx per $\alpha \in ℂ,\mathrm{\Re }(\alpha )>0$, i el factorial se substituïx per la funció gamma. Les dos fòrmules coincidixen quan $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$.

Tant la fòrmula de Cauchy com l'integral de Riemann–Liouville es generalisen a dimensions arbitràries per mig del potencial de Riesz.

En el càlcul fraccionario, estes fòrmules poden utilisar-se per a construir una diferintegral, lo que permet derivar o integrar un número fraccionario de voltes. La derivació un número fraccionario de voltes pot conseguir-se per mig d'integració fraccionaria i, a continuació, derivant el resultat.

Referències

• Augustin-Louis Cauchy: «Trente-Cinquième Leçon». En: «Résumé dones leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur li calcul infinitésimal». Imprimerie Royale, París 1823. Reimpressió: “'Œuvres complètes”' II(4), Gauthier-Villars, París, pp. 5–261.
• Gerald B. Folland, “'Advanced Calculus”', p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2