Integració de Verlet

El algoritme de Verlet és un procediment per a l'integració numèrica d'equacions diferencials ordinàries de segon orde en valors inicials coneguts (problema de Cauchy). És particularment apropiat en les situacions en que l'expressió de la segona derivada solament és funció de les variables, depenent o independent, sense participar la primera derivada. Est és el cas de numerosos problemes de la dinàmica newtoniana, per lo que s'ampra freqüentment en astronomia i mecànica molecular.

Donat un sistema de coordenades, la posició d'una partícula a lo llarc del temps pot ser expressada per una funció de les coordenades del vector i del temps. En l'instant t

Ec.(1) : Posició = $\vec{x} (t)$ ; Velocitat = $\frac{d \vec{x} (t)}{d t}$ ; Acceleració = $\frac{d^{2} \vec{x} (t)}{d t^{2}}$ .

En 1967, el matemàtic francés Loup Verlet va presentar la primera versió del seu model,^[1] denominada Integració de Verlet, caracterisada per la seua simplicitat sense pèrdua d'exactitut i estabilitat. Posteriorment, en 1985,^[2] es va propondre una llaugera correcció a l'Integració de Verlet, coneguda com a algoritme de Verlet en velocitat, que millora la precisió i estabilitat de les solucions.

Algoritme de Verlet. Integració

Desenrollant en série de Taylor el valor de la funció per a dos increments de la variable independent: dt i - dt s'obté:

Ec.( 2 ) : $\vec{x} (t + Δ t) = \vec{x} (t) + \vec{v} (t) Δ t + \frac{\vec{a} (t) Δ t^{2}}{2} + \frac{\vec{b} (t) Δ t^{3}}{6} + O (Δ t^{4})$

Ec.( 3 ) : $\vec{x} (t - Δ t) = \vec{x} (t) - \vec{v} (t) Δ t + \frac{\vec{a} (t) Δ t^{2}}{2} - \frac{\vec{b} (t) Δ t^{3}}{6} + O (Δ t^{4}) .$

A on $\vec{x}$ és la posició, $\vec{v}$ la velocitat, $\vec{a}$ l'acceleració i $\vec{b}$ la sobreaceleración .

Sumant abdós equacions, llimitant la série fins al terme de quart grau, i reagrupant térmens s'obté la llei de recursión per a les posicions:

Ec.( 4 ) : $\vec{x} (t + Δ t) = 2 \vec{x} (t) - \vec{x} (t - Δ t) + \vec{a} (t) Δ t^{2} + O (Δ t^{4}) .$

En despreciar l'últim terme l'error comés és de quart grau, inferior a la majoria dels algoritmes convencionals.

Com pot comprovar-se, la Ec.(4) proporciona la trayectòria sense intervindre la velocitat, lo que simplifica els càlculs. Cas de necessitar conéixer les velocitats, estes s'obtenen directament per simple diferència de les Ec.(2) i Ec.(3):

Ec. ( 5 ) : $\vec{v} (t) = [\vec{x} (t + Δ t) - \vec{x} (t - Δ t)] / (2 Δ t)$

Inicialización

Les Ec.(4) i Ec.(5) són característica d'un método de resolució implícit (multipaso). En començar la série, es troba el tercer terme ( $\vec{x} (t + Δ t)$ ), en funció del segon ( $\vec{x} (t)$ ) i el primer ( $\vec{x} (t - Δ t)$ ). El primer terme, és una senya del problema, pero el segon és desconegut i la Ec.(5) no permet el seu càlcul. Per a obviar esta llimitació, el segon valor de la série ( $\vec{x} (t)$ ) es calcula a partir dels valors inicials en ajuda d'algun método explícit que permeta esta operació, per eixemple el d'Euler,

Ec. ( 6 ) : $\vec{x} (t + Δ t) = \vec{x} (t) + Δ t \vec{v} (t)$

I ya es tenen tots els térmens necessaris per a proseguir el càlcul recursivo.

Esta discontinuïtat pot ser orige de certa inestabilitat, encara que, si el valor de $Δ t$ és suficientment menut, sol corregir-se automàticament.

Aplicació: Problema dels dos cossos

En el denominat problema dels dos cossos es tracta de trobar les trayectòries de dos cossos somesos exclusivament al seu força gravitatoria mútua. Com és conegut el centre de masses del conjunt pot ser pres com orige de coordenades i les òrbites es mouen en un pla. Açò permet simplificar el càlcul. Adoptant un sistema de coordenades i posicions inicials com es mostra en el gràfic, el problema es reduïx a un sistemes de quatre variables depenents, les coordenades de posició dels dos cossos, una variable independent, el temps, tot això lligat per quatre equacions que es deuen resoldre secuencialment en cada pas de la iteración.

La figura mostra els càlculs realisats en una Hoja i l'eixida d'un programa gràfic escrit en javascript

Archiu:IntegraciónVerlet.png

El dibuix s'ha obtingut traçant varis periodos en el propòsit de mostrar la falta de coincidència entre òrbites consecutives, motivat per haver seleccionat un $Δ t$ excessivament gran. Resulta senzill millorar la precisió reduint l'interval o, com es mostra a continuació, aplicant el següent algoritme.

Algoritme de Verlet en velocitat

Com a millora de l'original algoritme, s'ha propost una fòrmula aplicable des del principi a on intervé explicitamente la velocitat, que és calculada per un procediment alguna cosa més refinat.

En l'expressió del desenroll en série,

Ec.( 7 ) : $\vec{x} (t + Δ t) = \vec{x} (t) + \vec{v} (t) Δ t + \frac{\vec{a} (t) \cdot Δ t^{2}}{2} + O (Δ t^{3}) + ...,$

Llimitant la série al final de segon grau,^[3] l'error en la posició és d'orde tercer, es troba la forma iterativa per a determinar la posició en funció de velocitat (d $\vec{x} (t)$ / dt) i acceleració (d² $\vec{x} (t)$ / dt²), abdós senyes del problema). Per a calcular les velocitats, operant sobre les expressions obtingudes en les Ec.(5) i Ec.(6)^[4] s'aplega a la següent expressió:

Ec.(8) : $\vec{v} (t + Δ t) = \vec{v} (t) + Δ t \cdot [d^{2} \vec{x} (t + Δ t) / d t^{2} + d^{2} \vec{x} (t) / d t^{2}] / 2$

Les Ec.(7) i Ec.(8) presenten gran analogia en les utilisades en el procediment d'Integració del bot de granota; en Verlet, posició i velocitat s'obtenen en el mateix punt de la trayectòria, mentres que en bot de granota es calculen intercalados.

Inicialización

En la Ec.(8), per a calcular $\vec{v} (t + Δ t)$ es necessita el valor previ de $\vec{a} (t + Δ t)$ . Pero a diferència de la Integració de Verlet, no és necessari recórrer a cap suposició externa al propi procediment

Cridant t0, v0 i a0 als valors de la respectives variables en l'instant inicial i t1 = t0 + $Δ t$ , v1 i a1 per al següent terme:

A partir de la Ec.( 1 ) : ${\vec{a}}_{1} (t_{0})$

A partir de la Ec.( 7 ) : ${\vec{x}}_{1} (t_{0} + Δ t) = {\vec{x}}_{0} (t_{0}) + \vec{v} (t_{0}) \cdot Δ t + \frac{{\vec{a}}_{0} (t_{0}) \cdot Δ t^{2}}{2}$

En el valor de ${\vec{x}}_{1} (t_{1})$ : ${\vec{a}}_{1} (t_{0} + Δ t)$

Contínua la seqüència : $\vec{x} (t + Δ t) = \vec{x} (t) + \vec{v} (t + Δ t) + \frac{\vec{a} (t) \cdot Δ t^{2}}{2}$

Aplicació: Problema dels dos cossos

Per a una primera comparació de la precisió d'abdós procediments en la següent figura s'ha resolt el mateix cas, en dos valors de $Δ t$ , 0,005 i 0,001.

Archiu:VerletVelocidad.jpg

Com pot comprovar-se, per a $Δ t = 0, 005$ , el traç de la figura és més net que en l'algoritme d'Integració de Verlet, lo que implica major precisió. No obstant, no pot considerar-se completament satisfactori. En canvi, fent $Δ t = 0, 001$ el perfil de les òrbites sembla nítit per complet, lo que significa que en les successives revolucions s'ha utilisat idèntic camí(fins a a on alcança la precisió observable), sent preferible esta via per a millorar els resultats.

Referències

↑ Loup Verlet "Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules", Physical Review 159 pp. 98-103 (1967)
↑ William C. Swope, Hans C. Andersen, Peter H. Berens and Kent R. Wilson "A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters", Journal of Chemical Physics 76 pp. 637-649 (1982)
↑ Observe's l'analogia en la fòrmula que expressa l'espai recorregut en el cas del moviment uniformemente accelerat
↑ Mecanica 3d: python i l'algoritme de Verlet. J. F. Rojas, R. Martínez i M. A. Morales

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Integración de Verlet» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Loup Verlet "Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules", Physical Review 159 pp. 98-103 (1967)

[2] William C. Swope, Hans C. Andersen, Peter H. Berens and Kent R. Wilson "A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters", Journal of Chemical Physics 76 pp. 637-649 (1982)

[3] Observe's l'analogia en la fòrmula que expressa l'espai recorregut en el cas del moviment uniformemente accelerat

[4] Mecanica 3d: python i l'algoritme de Verlet. J. F. Rojas, R. Martínez i M. A. Morales

[1]

[2]

[3]

[4]