Funció lambda modular

Archiu:Modular lambda function in range -3 to 3.png

Funció lambda modular en el pla complex

En matemàtiques, la funció lambda modular λ(t) és una funció holomorfa altament simètrica en el semiplano superior complex. És invariante baix l'acció llineal fraccionaria del grup de congruència Γ(2) i genera el camp funcional del cocient corresponent, és dir, és un mòdul principal (Hauptmodul) per a la curva modular X(2). Sobre qualsevol punt t, el seu valor pot descriure's com la raó anarmónica dels punts de ramificació d'una doble cobertura ramificada de la recta proyectiva per la curva elíptica $ℂ/⟨1,\tau ⟩$, a on l'aplicació es definix com el cocient per l'involució [−1].

La seua expansió q, a on $q=e^{\pi i\tau }$ és la funció nomene, ve donada per:

$\lambda (\tau )=16q-128q^2+704q^3-3072q^4+11488q^5-38400q^6+\dots$. Plantilla:OEIS

Al simetrizar la funció lambda baix l'acció canònica del grup simètric S₃ sobre X(2), i a continuació normalisar-la adequadament, s'obté una funció en el semiplano superior que és invariante baix el grup modular complet ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$, i de fet, és el j-invariante modular de Klein.

Propietats modular

Archiu:Lambda function.svg

Gràfic de la funció x→ λ(ix)

La funció $\lambda (\tau )$ és invariante baix el grup generat per

$\tau \mapsto \tau +2;\tau \mapsto \frac{\tau }{1-2\tau }.$

Els generadors del grup modular actuen per

$\tau \mapsto \tau +1:\lambda \mapsto \frac{\lambda }{\lambda -1};$

$\tau \mapsto -\frac{1}{\tau }:\lambda \mapsto 1-\lambda .$

En conseqüència, l'acció del grup modular sobre $\lambda (\tau )$ és la del raó anarmónica, donant els sis valors de raó anarmónica:

$\left\{\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1},1-\lambda \right\}.$

Relacions en atres funcions

És el quadrat del mòdul elíptic, és dir, $\lambda (\tau )=k^2(\tau )$. En térmens de la funció eta de Dedekind $\eta (\tau )$ i la funció theta,

$\lambda (\tau )=(\frac{\sqrt{2}\eta (\frac{\tau }{2}){\eta }^2(2\tau )}{{\eta }^3(\tau )}{)}^8=\frac{16}{{\left(\frac{\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}\right)}^8+16}=\frac{{\theta }_2^4(\tau )}{{\theta }_3^4(\tau )}$

i,

$\frac{1}{(\lambda (\tau ){)}^{1/4}}-(\lambda (\tau ){)}^{1/4}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\eta (\frac{\tau }{4})}{\eta (\tau )}\right)}^4=2\frac{{\theta }_4^2(\frac{\tau }{2})}{{\theta }_2^2(\frac{\tau }{2})}$

a on

${\theta }_2(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau (n+1/2{)}^2}$

${\theta }_3(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i\tau n^2}$

${\theta }_4(\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{e}^{\pi i\tau n^2}$

En térmens dels semiperíodos de les funcions elíptiques de Weierstraß, siga $[{\omega }_1,{\omega }_2]$ un parell fonamental de periodos en $\tau =\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$.

$e_1=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1}{2}\right),e_2=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_2}{2}\right),e_3=\mathrm{\wp }\left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}\right)$

tenim

$\lambda =\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}.$

Ya que els tres valors de mig periodo són distints, açò mostra que $\lambda$ no pren el valor 0 o 1.

La relació en el j-invariante és

$j(\tau )=\frac{256(1-\lambda (1-\lambda ){)}^3}{(\lambda (1-\lambda ){)}^2}=\frac{256(1-\lambda +{\lambda }^2{)}^3}{{\lambda }^2(1-\lambda {)}^2}.$

que és el invariante j de la curva elíptica de la forma de Legendre $y^2=x(x-1)(x-\lambda )$

Dau $m\in ℂ\setminus \{0,1\}$, siga

$\tau =i\frac{K\{1-m\}}{K\{m\}}$

a on $K$ és l'integral elíptica completa de primer tipo en paràmetro $m=k^2$.

Llavors

$\lambda (\tau )=m.$

Bibliografia

• (1972).«Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables».Dover Publications.New York:
• (1985).«Elliptic Functions».Springer Science+Business Mija.281

108–121.

• (1979).«Monstrous moonshine».Bulletin of the London Mathematical Society.11(3)

308–339.doi:10.1112/blms/11.3.308.

• (1977).«Modular Forms and Functions».Cambridge University Press.
• Borwein, J. M. i Borwein, P. B. Pi i la AGM: un estudi sobre teoria analítica de números i complexitat computacional. Nova York: Wiley, págs. 139 i 298, 1987.
• Conway, J. H. i Norton, S. P. "Monstrous Moonshine". Bou. Matemàtiques de Londres. Soc. 11, 308-339, 1979.
• Selberg, A. i Chowla, S. "Sobre la funció Zeta de Epstein". J. reina angew. Matemàtiques. 227, 86-110, 1967.