Funció elíptica lemniscática

En matemàtiques, una funció elíptica lemniscática és un tipo de funció elíptica relacionada en la llongitut de l'arc d'una lemniscata de Bernoulli, com el sen lemniscático (abreviat sinlemn o $\mathrm{s}\mathrm{l}$) i el coseno lemniscático (abreviat coslemn o $\mathrm{c}\mathrm{l}$). Estes funcions matemàtiques especials, introduïdes pel matemàtic Carl Friedrich Gauss, es corresponen en les funcions sen coseno d'una circumferència. Històricament, són les dos primeres de les que posteriorment serien conegudes com funcions elíptiques.

Erro al crear miniatura:

Donada una lemniscata de Bernouilli tal que el producte de la distància als focs és 1/2, la funció sen lemniscático calcula la llongitut de la cuerdo r a partir de la llongitut de l'arc de la lemniscata s medit des de l'orige. Dit d'una atra manera, correlaciona la llongitut de l'arc de lemniscata s en la distancia r del punt de la curva a l'orige.
Cada quadrant conté un arc de llongitut $\frac{\varpi }{2}$, corresponent a una quarta part de la llongitut total de la lemniscata. Els focs estan en $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}|0)$

Sen lemniscático sl (negre) i coseno lemniscático cl (blau), comparats en el sen trigonométrico (gris clar), ajustat al periodo de sl ($si{n}^{*}s=\sin (s\frac{\pi }{\varpi })$)

Història

El problema de calcular la llongitut de l'arc de la lemniscata de Bernouilli va ser estudiat en 1718 per Giulio Carlo de' Toschi vaig donar Fagnano. En 1796, el jove Gauss (que llavors contava en 19 anys d'edat), també es va ocupar de la qüestió de cóm calcular la llongitut de l'arc de lemniscata $s$ comprés entre l'orige de coordenades i un punt de la curva la distància de la qual a l'orige $r\in (-1,1)$ (segons es va saber en notes publicades despuix de la seua mort i en el seu propi diari). Matemàticament, açò li va dur a determinar la funció inversa $r=r(s)$ de l'integral elíptica

$s(r)=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{\mathrm{d}\rho }{\sqrt{1-{\rho }^4}}.$

Gauss va cridar a esta funció inversa sinus lemniscatus i li va assignar la notació $\mathrm{s}\mathrm{l}$, per lo que

$r=\mathrm{s}\mathrm{l}s$

En conseqüència, va definir el cosine lemniscatus $\mathrm{c}\mathrm{l}s=\mathrm{s}\mathrm{l}(\frac{\varpi }{2}-s)$, a on $\varpi$ és la llongitut del perímetro d'una de les dos branques de la lemniscata, és dir

$\varpi =2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}\rho }{\sqrt{1-{\rho }^4}}\approx \mathrm{2,62205}7554292119810464839589891\dots$ A062539

També va advertir la relació següent:

$\varpi =\frac{\pi }{\text{mag}(1,\sqrt{2})}$

sent $\text{mag}(a,b)$ la mija aritmètica geomètrica dels dos valors donats.

Gauss es guio per l'analogia en les funcions circulares per a utilisar esta términología, observant que el sen és la funció recíproca de la següent integral, la solució de la qual és la funció arcoseno:

$s(r)=\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{\mathrm{d}\rho }{\sqrt{1-{\rho }^2}},\text{y por lo tanto, para una semicircunferencia}{\varpi }_{\text{circ}}=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}\rho }{\sqrt{1-{\rho }^2}}=\pi$

i ademés $r=\sin s$ i $\cos s=\sin (\frac{\pi }{2}-s)$. La seua atra idea clau era no solament definir les funcions $\mathrm{s}\mathrm{l}$ i $\mathrm{c}\mathrm{l}$ per als número real, sino també continuar-les en els número complex. Més alvance va demostrar les relacions de periodicitat

$\mathrm{s}\mathrm{l}(s+2\varpi )=\mathrm{s}\mathrm{l}s,\mathrm{s}\mathrm{l}(s+2\mathrm{i}\varpi )=\mathrm{s}\mathrm{l}s.$

En contrast en el sen trigonométrico, el sen lemniscático $\mathrm{s}\mathrm{l}$ té dos periodos $2\varpi$ i $2\mathrm{i}\varpi$, de la mateixa manera que la funció $\mathrm{c}\mathrm{l}$. Les funcions lemniscáticas són elíptiques. Carl Gustav Jakob Jacobi va introduir les cridades funcions elíptiques de Jacobi al voltant de 1830, generalisant les dos funcions lemniscáticas.

Funcions elíptiques lemniscáticas

Les funcions elíptiques lemniscáticas estan estretament relacionades en les funcions elíptiques de Weierstrass, de les que són un cas particular quan les invariantes de Weierstrass satisfan g₂ = 1 i g₃ = 0.

En el cas lemniscático, el semiperíodo mínim ω₁ és real i igual a

$\frac{{\Gamma }^2\left(\frac{1}{4}\right)}{4\sqrt{\pi }}$

a on Γ és la funció gamma. El segon semiperíodo, més menut, és imaginari pur i igual a iω₁. En térmens més algebraics, el parell fonamental de periodos és un múltiple real de sancers gaussianos.

Les constants i₁, i₂ i i₃ estan donades per

$e_1=\frac{1}{2},e_2=0,e_3=-\frac{1}{2}.$

El cas g₂ = a, g₃ = 0 pot ser manejat per mig d'una transformació d'escala. No obstant, açò pot involucrar número complex. Si es desija permanéixer dins dels número real, hi ha dos casos a considerar: a > 0 i a < 0. El paralelogramo dels periodos és un quadrat o un rombo.

Vore també

• Constant de Gauss

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 18". Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Séries. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Lemniscate lattice", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
• “Topics in complex function theory. Vol. I: Elliptic functions and uniformization theory” (29 de setembre 1969) 25. Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons.
• Siegel, C. L. (1969). "Topics in complex function theory. Vol. I: Elliptic functions and uniformization theory". Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. 25. New York-London-Sydney: Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60844-0. MR 0257326