Funció beta de Dirichlet

Gràfic de la funció beta de Dirichlet d'argument real

En matemàtica, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com la funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada en la funció zeta de Riemann. En particular, és una funció L de Dirichlet, concretament la funció L per al character alternat de periodo quatre.

Definició

La funció beta de Dirichlet es definix com

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$

o, equivalentement,

$\beta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx.$

En abdós casos, s'assumix que Re(s) > 0.

Alternativament, la següent definició, en térmens de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida íntegrament per a tot el pla complex:

$\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})).$

Una atra definició equivalent, en térmens de la funció zeta de Lerch, és:

$\beta (s)=2^{-s}\Phi (-1,s,\frac{1}{2}),$

la qual és també vàlida per a tot valor complex 's.

Equació funcional

l'equació funcional prolonga analíticamente la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0; esta ve donada per:

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s)$

a on Γ(s) és la funció gamma.

Valors especials

Alguns valors especials, entre els que s'inclouen:

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)={\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4},$

$\beta (2)=G,$

a on G representa la constant de Catalan, i

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32},$

$\beta (4)=\frac{1}{768}({\psi }_3\left(\frac{1}{4}\right)-8{\pi }^4),$

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536},$

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320},$

a on ${\psi }_3(1/4)$, escrit dalt, és un eixemple de funció poligamma. Més generalment, per a cada sancer positiu k:

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k!)},$

a on $E_n$ representa els números de Euler. Per a sancers k ≥ 0, està es pot escriure com:

$\beta (-k)=\frac{E_k}{2}.$

Ya que $E_{2k+1}=0$ en k ≥ 0, la funció s'anula per a tot número entero negatiu impar de l'argument.

Vore també

• Funció zeta de Hurwitz

Referències

• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atles of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Dirichlet Beta Function en MathWorld.