Funció Omega de Wright

Gràfica de la funció Omega de Wright en l'eix real.

En matemàtiques, la funció Omega de Wright, també cridada funció de Wright, és una funció que està definida per la funció W de Lambert:

$\omega (z)=W_{\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil }(e^z)$

A on $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$ és la partix imagniaria de z, $\lceil z\rceil$ és la funció sostre de z i $\mathrm{K}(z)=\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil$ és un "número desenrollado" de z. Anteriorment $\mathrm{K}(z)$ estava definida com $\mathrm{K}(z)=\lfloor \frac{\pi -\mathrm{I}\mathrm{m}(z)}{2\pi }\rfloor$, pero posteriorment es va canviar a la versió actual perque evita tindre que usar de manera reiterada el signe menys (-) en les fòrmules relacionades.

Propietats

• Esta funció satisfà la relació $W_k(z)=\omega (\ln (z)+2\pi ik)$.

A on ln(z) indica al logaritme principal $\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z)$ (arg(z) és l'argument principal).

• $\omega :ℂ\to ℂ$ és epiyectiva en $ℂ/$ {$0$} . "/" es referix a la diferència de conjunts.

• $\omega :ℂ\to ℂ$ és inyectiva si $\omega (z)\ne -1$, ya que $z=-1\pm i\pi \to \omega (z)=-1$.

• $\omega (z)$ és contínua $\mathrm{\forall }z\ne q\pm i\pi ,q\le -1$.

• Siga $\mathrm{K}(z)=\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil$. Llavors $\mathrm{K}(z)=\mathrm{K}(\omega (z))+\ln (\omega (z))⟺z=\ln (\omega (z))+\omega (z)$.

Derivació i integració

La funció Omega de Wright satisfà l'equació diferencial:

$(1+\omega )\frac{d\omega }{dz}=\omega$

Aixina:

$\frac{d\omega }{dz}=\frac{\omega (z)}{1+\omega (z)}$

A on la funció siga analítica.

L'integral de les funcions de la forma $\omega (z{)}^n$, ve dau per:

Vore també

• Funció W de Lambert
• Funció exponencial
• Logaritmo natural
• Logaritmo complex