Finestra (funció)

Les finestres són funcions matemàtiques usades en freqüència en l'anàlisis i el processament de senyals per a evitar les discontinuïtats al principi i al final dels blocs analisats.

En el processament de senyals, una finestra s'utilisa quan l'anàlisis se centra en una senyal de llongitut voluntàriament llimitada. En efecte, una senyal real té que ser de temps finito; ademés, un càlcul només és possible a partir d'un número finito de punts. Per a observar una senyal en un temps finito, es multiplica per una funció finestra.

La més simple és la finestra rectangular, que es definix com:

$h(t)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ si }t\in [0,T]\\ 0& \text{ resto.}\end{array}$

Aixina, en multiplicar una senyal $s(t)$ per esta finestra, s'obtenen únicament els $T$ primers segons de la senyal: s'observa la senyal en un interval $T$. En lloc d'estudiar la senyal $s(t)$, s'estudia la senyal truncada: $s_h(t)=s(t)\cdot h(t)$. En passar al domini de la freqüència, per mig d'una transformada de Fourier, s'obté el producte de convolución $S_h(f)=S(f)\ast H(f)$, a on $H(f)$ és la TF de la finestra.

L'utilisació d'una finestra canvia l'espectre en la freqüència de la senyal. Existixen distints tipos de finestra que permeten obtindre distints resultats en el domini de les freqüències.

Aplicacions

Les funcions de finestra són usades en anàlisis/modificació/resíntesis d'espectre, el disseny de filtres de resposta d'impulsos finita, aixina com conformació de fas en el disseny d'antenes.

Anàlisis d'espectre

La Transformada de Fourier de la funció cos(ωt) és zero, llevat a la freqüència ±ω. No obstant moltes atres funcions i formes d'ona no tenen transformades tancades convenients. Alternativament,un pot estar interessat en el seu contingut espectral solament en algun moment. En qualsevol cas, la transformada de Fourier (o qualsevol atra transformació similar) pot ser aplicat en un o més intervals finitos de la forma d'ona. En general la transformada és aplicada al producte de la forma d'ona i una funció de finestra. Qualsevol finestra (inclosa la rectangular) afecta l'estimació espectral calculada per este método.

Figura 2: Usant una funció de finestra en una senoidal produïx tacat espectral (goteig). La mateixa cantitat de goteig ocorre quan hi ha un sancer (blau) o no sancer (roig) número de cicles dins de la finestra(rengló 1 i 2). Quan la senoidal és muestreada i enventanada, la seua transformada de Fourier de temps discret exhibix el mateix patró de goteig (renglons 3 i 4). Pero quan la DTFT solament és ralamente muestreada, a un cert interval, és possible, depenent del punt de vista, (1) evitar el goteig, o (2) crear l'ilusió de que el goteig no existix. Per al cas de la DTFT blava, eixes mostres són les eixides de la transformade discreta de Fourier (DFT). La DTFT roja té el mateix interval sense creus per zero, pero les mostres de la DFT cauen entre elles, i el tacat és revelat.

Selecció de la funció de finestra

El ventaneado d'una forma d'ona simple com cos(ωt) provoca que la seua transformeu de Fourier desenrolle valors no nuls cridats comunament tacat espectral (o goteig) a freqüències diferents a ω. El goteig sol ser pijor prop de ω i disminuir a freqüències alluntades a  ω.

Si la forma d'ona baix anàlisis conté 2 senoidales de diferents freqüències, el goteig pot interferir en l'habilitat per a distinguir-les entre sí, espectralment. Les interferències possibles comunament es classifiquen en dos classes opostes: Quan entre les dos freqüències disimilares una és molt més dèbil que l'atra, llavors el goteig pot ocultar a la freqüència dèbil. Pero si les dos freqüències són molt propenques entre sí, el problema pot no ser solucionable, encara quan les dos freqüències tinguen amplitut propenques. Als problemes a on les dos freqüències i amplitut són molt diferents se'ls crida de alt ranc dinàmic. Alternativament, quan les freqüències quan cal distinguir entre freqüències i amplitut similars, se'ls crida problemes de alta resolució. Les formes d'ona que cauen entre els dos casos extrems s'usen finestres moderades com les de Hamming i Hann. Són usades per a casos de banda angosta. Concloent, cal triar finestres adequades per a cada cas a analisar ya que hi ha ventages i desventages de l'aplicació de cada tipo d'acort als casos extrems entre alt ranc dinàmic i alta resolució.

Senyals de temps discret

Quan la forma d'ona és un mostreig, en lloc d'una forma d'ona contínua, l'anàlisis es porta a terme aplicant un funció de finestra i despuix una transformada de Fourier discreta (DFT). Pero la DFR solament nos dona un ralo mostreig del obtenible en l'espectre de la discrete-clave Fourier transform transformada de temps discret de Fourier (DTFT). La figura 2 i 3 nos mostren una DTFT per a una sinusoidal de finestra rectangular. La freqüència real de la senoidal està indiqueu en "13" en l'eix horisontal. Tot lo demés és goteig, exagerat per l'us d'una escala logarítmica. L'unitat de freqüència és "DFR contenidors"; açò és, els valors sancers en l'eix de la freqüència corresponen a les freqüències muestreadas per el DFT. Aixina que la figura mostra el cas a on la freqüència actual de la senoidal coincidixca en un mostreig DFT, i el màxim valor del mostreig de l'espectre és precisament medit en eixa mostra. En el rengló 4, pert el màxim valor per mig contenidor (bin), com a resultat es califica com scalloping loss per la forma del pico. Per a una freqüència coneguda, nota musical o senyal de prova, que coincidixca en la freqüència d'un dels caixons, els paràmetros poden ser rearreglados, per a les seleccions de la freqüència de mostreig i el llarc de la finestra, de modo que resulte en un número entero de cicles dins de la finestra.

Figure 3: Esta figura compara les pèrdues de procés en 3 funcions de finestra per a entrades senoidales, en pèrdues d'escalonat tant mínimes i màximes.

Soroll en l'ample de banda

Els conceptes de resolució i ranc dinàmic tendixen a ser alguna cosa subjectius, depenent de lo que l'usuari estiga tractant de conseguir. Pero també estan altament correlacionados en en goteig total, que és quantificable. Generalment s'expressa com l'ample de banda equivalent B. Pot ser conceptualizado com una redistribució de la DTFT dins d'una forma rectangular en l'altura igual al màxim espectral i ample B. Matemàticament, el soroll de banda equivalent per la funció de transferència H és l'ample de banda d'un filtre rectangular ideal en el mateix guany pique que H que transferirà la mateixa potència en una entrada de soroll blanc. En unitats de freqüència f (ej. hertz), està donada per:

$B_{\text{ruido}}=\frac{1}{|H(f){|}_{\max }^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|H(f){|}^{2}df.$

Mentres més goteig, més gran és l'ample de banda. A voltes és cridat soroll equivalent a l'ample de banda, perque és proporcional a la potencia promig que quedarà en cada contenidor de la DFT quan la senyal d'entrada té un component de soroll aleatori (o solament és soroll aleatori). Una gràfica de l'espectre de potència, promediado en temps, mostra un pis pla de soroll, causat per este efecte. L'altura del pis de soroll és proporcional a B. Aixina que 2 funcions de finestra diferents poden produir diferents pisos de soroll.

Guany de procés i pèrdues

En processament de senyals, les operacions es trien per a millorar algun aspecte de la calitat de la senyal en distinguir algun aspecte de la senyal i les influències corruptoras de la senyal. Quan la senyal és una senoidal corrupta per soroll aleatori, l'anàlisis espectral distribuïx els components de la senyal i el soroll de forma diferenciada, generalment fent més fàcil la detecció de la senyal per les seues característiques com l'amplitut i la freqüència. Efectivament, la relació senyal/soroll (S/R) és millorada per distribució del soroll uniforme, mentres l'energia es concentra al voltant d'una freqüència. Processament del guany, és un terme comunament usat per a descriure un mejoramiento en la relació S/R. El processament del guany de l'anàlisis espectral depén de la funció de finestra, tant l'ample de banda del soroll com la pèrdua escalonada. Estos efectes parcialment neutralisats ya que les finestres en menys escalons tenen per naturalea més fuga.

Finestres típiques

Algunes finestres en la seua forma discreta de tamany

$N$

, a on

$0\le n\le N-1$

Rectangular

$v(n)=1$

Hanning

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,5;a_1=0,5$

Freqüentment la finestra de Hann apareix en el nom de finestra de Hanning, en analogia en la finestra de Hamming, per una confusió dels llinages dels dos autors: Julius von Hann i Richard Hamming, respectivament. Un atre nom comú per a esta finestra és coseno elevat.

Hamming

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,53836;a_1=0,46164$

Blackman

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+a_2\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,42;a_1=0,5;a_2=0,08$

Blackman-Harris

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+a_2\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)-a_3\cos \left(\frac{6\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,35875;a_1=0,48829;a_2=0,14128;a_3=0,01168$

Blackman-Nuttall

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+a_2\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)-a_3\cos \left(\frac{6\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,3635819;a_1=0,4891775;a_2=0,1365995;a_3=0,0106411$

Flat top

$v(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+a_2\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)-a_3\cos \left(\frac{6\pi n}{N-1}\right)+a_4\cos \left(\frac{8\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=1;a_1=1,93;a_2=1,29;a_3=0,388;a_4=0,032$

Gauss

$v(n)=e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2}\right)}^2}$

$\sigma \le 0,5$

Triangular

$v(n)=\frac{N}{2}-|n-\frac{N-1}{2}|$

Bartlett

$v(n)=\frac{N-1}{2}-|n-\frac{N-1}{2}|$

Bartlett-Hann

$v(n)=a_0-a_1|\frac{n}{N-1}-\frac{1}{2}|-a_2\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=0,62;a_1=0,48;a_2=0,38$

Kaiser

$w_k=\{\begin{array}{cc}\frac{I_0(\pi \alpha \sqrt{1-(2k/n-1{)}^2})}{I_0(\pi \alpha )}& \text{si }0\le k\le n\\ \\ 0& \text{resto}\end{array}$

a on I₀ és la funció de Bessel modificada de primer tipo d'orde zero, α és un número real arbitrari que determina la forma de la finestra i n és un número natural que determina el tamany de la finestra.

Vore també

• Transformada de Fourier discreta
• Finestra de Kaiser