Estructura cristalina cúbica del diamant

Estructura cristalina cúbica del diamant

Model de li estructura cristalina cúbica del diamant en rotació

Archiu:Diamond lattice.stl

Figura polar en proyecció estereográfica de la ret de diamant que mostra la simetria triple a lo llarc de la direcció [111]

En cristalografia, la estructura cristalina cúbica del diamant és un patró repetitiu de 8 àtoms que certs materials poden adoptar al solidificarse. Si ben el primer eixemple conegut va ser el diamant, atres elements del grup 14 de la taula periòdica també adopten esta estructura, incloent el α-estany, els semiconductorés silici i germani, i les aleacions silici-germani en qualsevol proporció. També hi ha cristals, com la forma d'alta temperatura de la cristobalita, que tenen una estructura similar, en un tipo d'àtom (com el silici en la cristobalita) en les posicions dels àtoms de carbono en el diamant, pero en un atre tipo d'àtom (com l'oxigen) a mig camí entre ells.

Encara que a sovint li la denomina ret del diamant, esta estructura no és una ret en el sentit tècnic del terme en matemàtiques.

Estructura cristalográfica

Visualisació d'una cela unitària cúbica de diamant:
1. Components d'una cela unitària
2. Una cela unitària
3. Una ret de 3 × 3 × 3 celes

L'estructura cúbica del diamant es troba en el FdPlantilla:Overlinem grup espacial FdPlantilla:Overlinem (grup espacial 227), que seguix la ret de Bravais cúbica centrada en cares, que descriu un patró repetitiu. Per als cristals cúbics de diamant, esta ret està decorada en un motiu de dos àtoms enllaçats tetraédricamente en cada cela primitiva, separats per Plantilla:Sfrac de l'ample de la cela unitària en cada dimensió. La ret del diamant pot vore's com un parell de rets cúbiques centrades en cara que es intersecan, separades entre sí per Plantilla:Sfrac de l'ample de la cela unitària en cada dimensió. Molts materials semiconductors, com l'arseniuro de gali, el ß-carbur de silici i antimoniuro d'indi, adopten l'estructura de la blenda anàloga, en la que cada àtom té veïns més propencs d'un element diferent. El grup espacial de la blenda de zinc és FPlantilla:Overline3m, pero moltes de les seues propietats estructurals són prou similars a l'estructura del diamant.

El factor de empaquetamiento atòmic de l'estructura cúbica del diamant (la proporció d'espai que ocuparien esferes centrades en els vèrtiços de l'estructura i lo més grans possible sense superpondre's) és $\frac{\pi \sqrt{3}}{16}\approx 0.34,$ significativament menor (lo que indica una estructura menys densa) que els factors de empaquetamiento para rets cúbiques centrades en les cares i centrades en el cos. Les estructures de blenda de zinc tenen factors de empaquetamiento superiors a 0,34, depenent dels tamanys relatius dels seus dos àtoms components.

Les distàncies entre el primer, segon, tercer, quarto i quint veí més propenc, expressades en unitats de la constant de ret cúbica, són $\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{11}}{4},1,\frac{\sqrt{19}}{4},$ respectivament.

Estructura matemàtica

Matemàticament, els punts de l'estructura cúbica del diamant poden representar-se per mig de coordenades com un subconjunt d'una estructura tridimensional d'un retícul sancer, utilisant una cela unitària cúbica de quatre unitats de costat. En estes coordenades, els punts de l'estructura tenen coordenades (x, i, z) que satisfan les equacions

$$\begin{array}{cc}x=y& =z(\text{mod }2),\\ x+y+z& =0\text{ o }1(\text{mod }4).\end{array}$$

Hi ha huit punts (mòdul = 4) que satisfan estes condicions:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Tots els demés punts de l'estructura es poden obtindre sumant múltiples de quatre a les coordenades x, i, z d'estos huit punts. Els punts adjacents en esta estructura es troben a una distància Plantilla:Tmath en la ret sancera; les arestes de l'estructura de diamant se situen en les diagonals de les gavetes de la cuadrícula sancera. Esta estructura es pot escalar a una cela unitària cúbica de a unitats de diàmetro multiplicant totes les coordenades per Plantilla:Sfrac.

Alternativament, cada punt de l'estructura cúbica del diamant es pot definir per mig de coordenades sanceres de quatre dimensions que la seua sumixca siga zero o un. Dos punts són adjacents en l'estructura de diamant si i solament si les seues coordenades tetradimensionales diferixen en una unitat en una sola coordenada. La diferència total en els valors de les coordenades entre dos punts qualssevol (les seues coordenades tetradimensionales segons la geometria del taxiste) dona el número d'arestes en la ret per al problema del camí més curt que els unix en l'estructura del diamant. Els quatre veïns més propencs de cada punt es poden obtindre, en este sistema de coordenades, sumant un a cada una de les quatre coordenades, o restant un a cada una d'elles, segons la suma de les coordenades siga zero o un. Estes coordenades tetradimensionales es poden transformar en coordenades tridimensionals per mig de la fòrmula:

$$(a,b,c,d)\to (a+b-c-d,a-b+c-d,-a+b+c-d).$$

Ya que l'estructura de diamant forma un subconjunt que preserva la distància de la ret sancera tetradimensional, és un gaveta parcial.

Una atra representació coordenada de la gaveta del diamant implica l'eliminació d'algunes arestes d'un grafo de cuadrícula tridimensional. En este sistema, que presenta una geometria distorsionada respecte a l'estructura cúbica del diamant estàndar, pero en la mateixa estructura topològica, els vèrtiços de la gaveta del diamant es representen per mig de tots els punts possibles de la cuadrícula 3D, i les arestes es representen per mig d'un subconjunt de les arestes de la cuadrícula 3D.

L'estructura cúbica de diamant a voltes es denomina "ret de diamant", pero matemàticament no és una ret: per eixemple, no existix cap simetria traslacional que transforme el punt (0,0,0) en el punt (3,3,3). No obstant, seguix sent una estructura altament simètrica: qualsevol parell incident format per un vèrtiç i una aresta pot transformar-se en qualsevol atre parell incident per mig d'una congruència del espai euclídeo. Ademés, el cristal de diamant, com a ret espacial, posseïx una forta propietat isotrópica. És dir, per a qualssevol dos vèrtiços x, i de la ret cristalina, i per a qualsevol ordenament de les arestes adjacents a x i qualsevol ordenament de les arestes adjacents a i, existix una congruència que preserva la ret, transformant x en i i cada aresta x en l'aresta i ordenada de manera similar. Un atre cristal (hipotètic) en esta propietat és el grafo de Llaves (també cridat cristal K₄, (10,3)-a, o bessó del diamant).