Espai cotangente

Categoría:Wikipedia:Traducciones para mejorar En geometria diferencial, el espai cotangente és un espai vectorial associat a un punt $x$ en una varietat diferenciable $ℳ$; es pot definir l'espai cotangente per a cada punt d'una varietat diferenciable. Habitualment, l'espai cotangente, $T_x^{*}ℳ$ es definix com l'espai dual del espai tangente en $x$, $T_xℳ$, encara que existixen definicions més directes (vore davall). Els elements de l'espai cotangente se solen cridar vectores cotangentes o covectores tangentes.

Propietats

Tots els espais cotangentes en punts d'una varietat conexa tenen la mateixa dimensió, que és la mateixa dimensió que la de la varietat. Tots els espais cotangentes d'una varietat poden ser "pegats" (i.d. units i donats una topología) per a formar una varietat diferenciable de doble dimensió, el fibrado cotangente de la varietat.

L'espai tangente i cotangente en un punt són abdós espais vectorials reals de la mateixa dimensió, i són per lo tant isomorfos per mig de molts possibles isomorfismes. Si introduïm una mètrica Riemanniana o una forma simpléctica dona peu a un isomorfisme natural entre l'espai tangente i el cotangente en un punt, associant a qualsevol vector cotangente un vector tangente canònic.

Definicions formals

Definició com a funcionals llineals

Siga $ℳ$ una varietat diferenciable i siga $x$ un punt de $ℳ$. Siga ara $T_xℳ$ l'espai tangente en $x$. Llavors l'espai cotangente en x es definix com l'espai dual de $T_xℳ$:

$T_x^{*}ℳ=(T_xℳ{)}^{*}$

En particular, els elements de l'espai cotangente són funcionals llineals en $T_xℳ$. Açò és, cada element $\alpha \in T_x^{*}ℳ$ és una aplicació llineal

$\alpha :T_xℳ\to F$

a on $F$ és el cos subjacent d'espai vectorial en qüestió, per eixemple, el cos dels número real. Els elements de $T_x^{*}ℳ$ es diuen vectores cotangentes.

Definició Alternativa

En alguns casos, és preferible tindre un definició directa de l'espai cotangente que no depén de l'espai tangente. Tal definició es pot donar en térmens de classes d'equivalència de funcions suaus en $ℳ$. Informalment, direm que dos funcions suaus f i g són equivalents en un punt $x$ si la derivada de la funció f-g s'anula en $x$. L'espai cotangente consistirà de tots els possibles comportaments de la derivada d'una funció prop de $x$.

Siga $ℳ$ una varietat diferenciable i x un punt en $ℳ$. Siga $I_x$ l'ideal de totes les funcions $C^{\mathrm{\infty }}(ℳ)$ que s'anulen en $x$, i siga $I_x^2$ el conjunt de funcions de la forma $\sum _i{f}_i{g}_i$, where $f_i,g_i\in I_x$. Llavors, $I_x$ i $I_x^2$ són abdós espais vectorials reals i l'espai cotangente es pot definir com l'Espai cocient $T_x^{*}ℳ=I_x/I_x^2$ provant que abdós espais són isomorfos entre ells.

Esta formulació és anàloga a la construcció de l'espai cotangente per a definir l'espai tangente a una varietat algebraica en la Topología de Zariski en geometria algeraica. Esta construcció també pot generalisar-se a espais d'anells locals.

Bibliografia

• (1978).«Foundations of mechanics».Benjamin-Cummings.London:
• (2005).«Riemannian Geometry and Geometric Analysis».Springer-Verlag.Berlin, New York:

• (2003).«Introduction to smooth manifolds».Springer-Verlag.Berlin, New York:218
• (1973).«Gravitation».W. H. Freeman.