Equació de pendent suau

En dinàmica de decorreguts, la equació de la pendent suau descriu els efectes combinats de la difracció i la refracció de les ones d'aigua que es propaguen sobre la batimetría i pels llímits laterals, com els rompeolas i les costes. Es tracta d'un model aproximat, el nom del qual es deu a que es va desenrollar originalment per a la propagació de les ones sobre pendents suaus del fondo marí. La 'equació de la pendent suau' s'utilisa a sovint en l'ingenieria costera per a calcular els canvis del camp d'ones prop dels ports i les costes.

La 'equació de pendent suau' modela la propagació i la transformació de les ones d'aigua, ya que viagen a través d'aigües de profunditat variable i interactuen en els llímits laterals, com els penya-segats, les plages, els dics i els rompeolas. En conseqüència, descriu les variacions de l'amplitut de les ones, o lo que és lo mateix, l'altura de les ones. A partir de l'amplitut de les ones, també es pot calcular l'amplitut de les oscilacions de la velocitat de fluix per baix de la superfície de l'aigua. Estes cantitats -l'amplitut de les ones i l'amplitut de la velocitat del fluix- poden utilisar-se posteriorment per a determinar els efectes de les ones en les estructures costeres i d'alta mar, en els barcos i en atres objectes flotants, en el transport de sediment i en els canvis batimétricos resultants del fondo marí i de la llínea de costa, en els camps de fluix mig i en la transferència de massa de materials dissolts i flotants. La majoria de les voltes, l'equació de la pendent suau es resol per ordenador utilisant métodos d'anàlisis numèric.

Una primera forma de l'equació de la pendent suau va ser desenrollada per Eckart en 1952, i una versió millorada -l'equació de la pendent suau en la seua formulació clàssica- va ser derivada de forma independent per Juri Berkhoff en 1972.^[1]^[2]^[3] A partir de llavors, s'han propost moltes formes modificades i ampliades, per a incloure els efectes de, per eixemple: l'interacció ona-corrent, la no linealidad de l'onage, les pendents més pronunciades del llit marí, la fricció del llit i el trencament de l'onage. També s'utilisen a sovint aproximacions parabòliques a l'equació de la pendent suau, en la finalitat de reduir el cost computacional.

En el cas d'una profunditat constant, l'equació de pendent suau es reduïx a l'equació de Helmholtz per a la difracció de les ones.

Formulació per a moviment ondulatorio monocromàtic

Per a ones monocromàtiques d'acort en la teoria llineal, en l'elevació de la superfície lliure donada com $ζ (x, y, t) = ℜ {η (x, y) e^{- i ω t}}$ i les ones que es propaguen en una capa decorreguda de $h (x, y)$ profunditat mija de l'aigua l'equació de pendent suau és:^[4]

$\nabla \cdot (c_{p} c_{g} \nabla η) + k^{2} c_{p} c_{g} η = 0$
Símbol	Nom
$η (x, y)$	Amplitut del valor complex de l'elevació de la superfície lliure $ζ (x, y, t)$
$(x, y)$	Posició en un pla horisontal
$ω$	Freqüència angular del moviment ondulatorio monocromàtic
$i$	Unitat imaginària
$ℜ {\cdot}$	Significa prendre la part real de la cantitat entre claus
$\nabla$	Operador horisontal gradient
$\nabla \cdot$	Operador divergència
$k$	Número
$c_{p}$	Velocitat de fase de les ones
$c_{g}$	Velocitat de grup de les ones

La fase i la velocitat del grup depenen de la relació de dispersió i es deriven de la teoria d'ones de Airy com:^[5]

\begin{matrix} ω^{2} & = g k \tanh (k h), \\ c_{p} & = \frac{ω}{k} and \\ c_{g} & = \frac{1}{2} c_{p} [1 + k h \frac{1 - \tanh^{2} (k h)}{\tanh (k h)}] \end{matrix}


Símbol	Nom
$g$	Gravetat de la Terra
$\tanh$	Tangente hiperbòlica

Per a una freqüència angular donada $ω$ , l'número $k$ deu resoldre's a partir de l'equació de dispersió, que relaciona estes dos cantitats en la profunditat de l'aigua $h$ .

Transformació a una equació de Helmholtz no homogénea

A través de la transformació

$ψ = η \sqrt{c_{p} c_{g}},$

l'equació de pendent suau es pot convertir en una equació de Helmholtz no homogénea:^[4]^[6]


Equació	en
$Δ ψ + k_{c}^{2} ψ = 0$	$k_{c}^{2} = k^{2} - \frac{Δ (\sqrt{c_{p} c_{g}})}{\sqrt{c_{p} c_{g}}}$

a on $Δ$ és l'operador laplaciano.

Referències

↑ (1952).«The propagation of gravity waves from deep to shallow water».Circular 20.National Bureau of Standards.
165–173.
↑ (1972).«Proceedings 13th International Conference on Coastal Engineering».Vancouver:
471–490.
↑ (1976).«Mathematical models for simple harmonic linear water wave models; wave refraction and diffraction».Delft University of Technology.
↑ ^4,0 ^4,1 Dingemans (1997)
↑ Dingemans (1997)
↑ Mei (1994)

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de pendiente suave» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (1952).«The propagation of gravity waves from deep to shallow water».Circular 20.National Bureau of Standards.
165–173.

[2] (1972).«Proceedings 13th International Conference on Coastal Engineering».Vancouver:
471–490.

[3] (1976).«Mathematical models for simple harmonic linear water wave models; wave refraction and diffraction».Delft University of Technology.

[Dingemans_ms-4] 4,0 ^4,1 Dingemans (1997)

[5] Dingemans (1997)

[6] Mei (1994)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]