Envolvent (ones)

Funcions de envolvent superior i inferior per a una ona sinusoidal modulada.

En física i ingenieria, la envolvent d'una senyal oscilante és una curva suau que descriu els seus extrems. Aixina, la envolvent generalisa el concepte d'amplitut constant en amplitut instantànea. La figura ilustra una ona sinusoidal modulada que varia entre una envolvent superior i inferior. La funció de la envolvent pot ser funció del temps, espai, àngul o inclús de qualsevol variable.

Eixemple: ones pulsantes

Ona modulada resultant de l'adició de dos ones sinusoidals de llongitut d'ona i freqüència casi idèntiques.

Una situació comuna que dona com resultat una funció envolvent tant en l'espai x com en el temps t és la superposició de dos ones de casi la mateixa llongitut d'ona i freqüència:

$\begin{array}{cc}F(x,t)& =\sin \left[2\pi (\frac{x}{\lambda -\Delta \lambda }-(f+\Delta f)t)\right]+\sin \left[2\pi (\frac{x}{\lambda +\Delta \lambda }-(f-\Delta f)t)\right]\\ & \approx 2\cos \left[2\pi (\frac{x}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}}-\Delta ft)\right]\sin \left[2\pi (\frac{x}{\lambda }-ft)\right]\end{array}$

que usa la fòrmula trigonométrica per a la suma de dos ones sinusoidals, i l'aproximació Δ λ ≪ λ:

$\frac{1}{\lambda \pm \Delta \lambda }=\frac{1}{\lambda }\frac{1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }\approx \frac{1}{\lambda }\mp \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }^2}.$

Ací la llongitut d'ona de modulació λ_mod ve donada per:

${\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}=\frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }.$

La llongitut d'ona de modulació és el doble que la de la pròpia envolvent perque cada mija llongitut d'ona de l'ona cosenoidal moduladora governa els valors positius i negatius de l'ona sinusoidal modulada. Aixina mateix, la freqüència de batut és la de la envolvent, el doble que la de l'ona moduladora, o 2Δ f .

Si esta ona és una ona de sò, l'oït escolta la freqüència associada en f i l'amplitut d'este sò varia en la freqüència del pols.

Velocitat de fase i grup

L'argument de les sinusoide anteriors ademés d'un factor 2π són:

${\xi }_C=(\frac{x}{\lambda }-ft),$

${\xi }_E=(\frac{x}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}}-\Delta ft),$

en els subíndexs C i I que es referixen al transportiste i a la envolvent. La mateixa amplitut F de l'ona resulta dels mateixos valors de ξ _C i ξ _I, cada u dels quals pot tornar al mateix valor sobre eleccions diferents pero adequadament relacionades de x i t . Esta invariancia significa que un pot rastrejar estes formes d'ona en l'espai per a trobar la velocitat d'una posició d'amplitut fixa a mida que es propaga en el temps; per a que l'argument de l'ona portadora permaneixca igual, la condició és:

$(\frac{x}{\lambda }-ft)=(\frac{x+\Delta x}{\lambda }-f(t+\Delta t)),$

que mostra que per a mantindre una amplitut constant la distancia Δ x està relacionada en l'interval de temps Δ t per la cridada velocitat de fase v _p

$v_{\mathrm{p}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\lambda f.$

Per un atre costat, les mateixes consideracions mostren que la envolvent es propaga a la cridada velocitat de grup v_g:

$v_{\mathrm{g}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}={\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}\Delta f={\lambda }^2\frac{\Delta f}{\Delta \lambda }.$

Una expressió més comuna per a la velocitat del grup s'obté introduint el vector d'ona k :

$k=\frac{2\pi }{\lambda }.$

Observem que per a chicotets canvis Δ λ, la magnitut del chicotet canvi corresponent en el vector d'ona, digam Δ k, és:

$\Delta k=\left|\frac{dk}{d\lambda }\right|\Delta \lambda =2\pi \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }^2},$

per lo que la velocitat del grup es pot reescriure com:

$v_{\mathrm{g}}=\frac{2\pi \Delta f}{\Delta k}=\frac{\Delta \omega }{\Delta k},$

a on ω és la freqüència en radians / s: ω = 2 π f . En tots els mijos, la freqüència i el vector d'ona estan relacionats per una relació de dispersió, ω = ω ( k ), i la velocitat del grup es pot escriure:

$v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega (k)}{dk}.$

Relació de dispersió ω = ω ( k ) per a algunes ones corresponents a vibracions de reixeta en GaAs.

En un mig com el buit clàssic, la relació de dispersió de les ones electromagnètiques és:

$\omega =c_{0}k$

a on c ₀ és la velocitat de la llum en el buit clàssic. Per a este cas, les velocitats de fase i de grup són c₀.

En els cridats mijos dispersivos, la relació de dispersió pot ser una funció complicada del vector d'ona, i les velocitats de fase i de grup no són les mateixes. Per eixemple, per a varis tipos d'ones exhibides per vibracions atòmiques (fonones) en GaAs, les relacions de dispersió es mostren en la figura per a vàries direccions del vector d'ona k. En el cas general, les velocitats de fase i de grup poden tindre diferents direccions.

Eixemple: aproximació de la funció de envolvent

Provabilitats d'electrons en els dos estats quàntics més baixos d'un pou quàntic de 160Ǻ GaAs en una heteroestructura GaAs-GaAlAs calculada a partir de funcions de envolvent.

En física de la matèria condensada, una funció pròpia de energia per a un portador de càrrega mòvil en un cristal es pot expressar com una ona de Bloch:

${\psi }_{n𝐤}(𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}{u}_{n𝐤}(𝐫),$

a on n és l'índex de la banda (per eixemple, banda de conducció o de valència) r és una ubicació espacial i k és un vector d'ona. L'exponencial és una funció que varia sinusoidalment corresponent a una envolvent que es modifica llentament i modula la part que varia ràpidament de la funció d'ona o_n,k descrivint el comportament de la funció d'ona prop dels núcleus dels àtoms de la ret. La envolvent està restringida a valors k dins d'un ranc llimitat per la zona de Brillouin del cristal, i això llimita la rapidea en la que pot variar en l'ubicació r.

Per a determinar el comportament dels portadors utilisant la mecànica quàntica, es sol utilisar l'aproximació de la envolvent en la que l'equació de Schrödinger se simplifica per a referir-se únicament al comportament de la envolvent, i les condicions de contorn s'apliquen a la funció envolvent directament, en lloc de la completa. funció d'ona. Per eixemple, la funció d'ona d'un portador atrapat prop d'una impurea està governada per una funció de envolvent F que governa una superposició de funcions de Bloch:

$\psi (𝐫)=\sum _{𝐤}F(𝐤)e^{i𝐤\mathbf{\cdot }𝐫}{u}_{𝐤}(𝐫),$

a on els components de Fourier de la envolvent F(k) es troben a partir de l'equació de Schrödinger aproximada. En algunes aplicacions, la part periòdica o_k es reemplaça pel seu valor prop de la vora de la banda, digam k = k₀, i despuix:

$\psi (𝐫)\approx (\sum _{𝐤}F(𝐤)e^{i𝐤\mathbf{\cdot }𝐫})u_{𝐤={𝐤}_0}(𝐫)=F(𝐫)u_{𝐤={𝐤}_0}(𝐫).$